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习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1 x acost,y bsint 2

x 3sint,y 4sint,z 3cost

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解： 1 r acosti bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。

2 r 3sinti 4sintj 3costk，其图形是平面4x 3y 0与圆柱面

x2 z2 32之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M所描曲线的矢量方程。

解：设M点的矢径为 OM r xi yj， AOC ，

CM与x轴的夹角为2 ；因 OM OC CM

有

r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 i asin 2 j

则

x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 .

故r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j

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2

解：曲线的矢量方程为r ti tj

23

tk 3

dr2

i 2tj 2tk 则其切向矢量为dt

模为|

dr

| 1 4t2 4t4 1 2t2 dt

drdri 2tj 2t2k

/|| 于是切向单位矢量为

dtdt1 2t2

2

r asinti asin2tj acostk 解：曲线矢量方程为

切向矢量为

dr

asin2ti 2

acos2tj asintk dt

t

在t

dr处， 4dt

4

ai a

k 2

22

7.求曲线x t 1,y 4t 3,z 2t 6t 在对应于t 2 的点M处的切线方程和

法平面方程。

由题意得M(5,5, 4),曲线矢量方程为r在t 2的点M处，切向矢量

(t2 1)i (4t 3)j (2t2 6t)k,

drdt

[2ti 4j (4t 6)k]t 2 4i 4j 2k

t 2

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于是切线方程为

x 5y 5z 4x 5y 5z 4

,即 442221

于是法平面方程为2(x 5) 2(y 5) (z 4) 0，即 2x 2y z 16 0

8．求曲线r ti t2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面x 2y z 4。 解：曲线切向矢量为

dr

i 2tj 3t2k， ⑴ dt

平面的法矢量为n i 2j k，由题知

22

n i 2tj 3tk i 2j k 1 4t 3t 0

得t 1,

1

。将此依次代入⑴式，得3

1 3

|t 1 i j k, |

故所求点为 1,1 1 ,

t

111i j k3927

1 11

,, 3927

习题2 解答

解： 1 场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0外的空间。

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等值面为

11

，这是与（C1 0为任意常数） C1或Ax By Cz D 0

Ax By Cz DC1

平面Ax By Cz D 0平行的空间。

2 场所在的空间区域是除原点以外的z2 x2 y2的点所组成的空间部分。

等值面为z2 x2 y2sin2c, x2 y2

0

，

当sinc 0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）； 当sinc 0时，是除原点外的xOy平面。

解：经过点M 1,1,2 等值面方程为

x2 y212u z 12

2

1，

即z x2

y2

，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场u xy，求场中与直线x 2y 4 0相切的等值线方程。 解：设切点为 x0,y0

，等值面方程为xy c x0y0，因相切，则斜率为 k

y0x 1

，即x0 2y0 02

点 x0,y0

在所给直线上，有

x0 2y0 4 0

解之得y0 1,x0 2 故xy 2

4．求矢量A xy2

i x2

yj zy2

k的矢量线方程。 解： 矢量线满足的微分方程为

A dr 0， 或

dxxy2 dyx2y dz

zy

2

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有xdx ydy,

dxdz . xz

x2 y2 C1,

(C1,C2为任意常数) 解之得

z C2x

5.求矢量场A x2i y2j (x y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 解： 矢量线满足的微分方程为

dxdydz

. 22

(x y)zxy

由

dxdx11

得 C1， 22

xyxy

d(x y)dzd(x y)dz

即 .解得x y C2z. ,22

x yz(x y)zx y

按等比定理有

11

1 C1,

y故矢量线方程为 x又M(2,1,1)求得C1 ,C2 1

2 x y Cz

2 111

y2. 故所求矢量线方程为 x

x y z

习题3 解答

1．求数量场u xz 2yz在点M 2,0, 1 处沿l 2xi xyj 3zk的方向导

23

2

2

4

数。

解：因l

M

2xi xy2j 3z4k

M

4i 3k，其方向余弦为

cos

43,cos 0,cos . 55

在点M(2,0, 1)处有

u u u

2xz3 4, 4yz 0, 3x2z2 2y2 12, x y z

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所以

u43

( 4) 0 0 12 4 l55

2．求数量场u 3x2z xy z2在点M 1, 1,1 处沿曲线x t,y t2,z t3朝t增大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为t 1,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

dxdt

1,

M

dydt

2t

M

t 1

2,

dzdt

3t2

M

t 1

3，

3其方向余弦为cos

1,cos u y

2,cos

u z

.

又

u x

(6xz y)M 7,

M

x

M

M

1,

(3x2 2z)

M

M

5。

于是所求方向导数为

u l

(

M

u u u1 2324cos cos cos ) 7 ( 1) 5 x y zM

3．求数量场u xyz在点M 2,1, 1 处沿哪个方向的方向导数最大？

2

3

解： 因

u

grad u l0 grad ucos ， l

当 0时，方向导数最大。

grad uM

u u u (i j k) x y zM

M

(2xyz3i x2z3j 3x2yz2k)

4i 4j 12k,

即函数u沿梯度grad uM 4i 4j 12k方向的方向导数最大 最大值为grad u

M

4。

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（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。

x2 y2 0,x2 y2 1,

解：所述等值线的方程为：x y 2,x y 3,其中第一个又可以写为

2

2

2

2

x2 y2 4,

x y 0,x y 0为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线

（如下图, 图中G1 grad u

M1

,

G2 grad uM,）

2

由于grad u xi yj, 故

grad uM 2i 2j,

1

grad uM 3i 7j,

2

由图可见，其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场u xy yz zx在点P 1,2,3 处沿其矢径方向的方向导数。

1 直接应用方向导数公式； 2 作为梯度在该方向上的投影。

解： 1 点P的矢径r i 2j 3k,其模r .其方向余弦为

cos

1,cos

2,cos

3.又

u x

(y z)P 5,

P

u y

(x z)P 4,

P

u z

(x y)P 3

P

所以

u l5

(

P

u u ucos cos cos

) x y zP 4

2 3

3 22。

1

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2 grad u

P

(

u u ui j k) 5i 4j 3k, x y zP

r123

r i j k.

r0

故

u l

grad uP r0 5

P

1 4

2 3

3

2214

。

6，求数量场u x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点O(0,0,0)与点A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？

解：grad u （2x y 3）i (4y x 2)j (6z 6)k,

grad uO 3i 2j 6k,grad uA 6i 3j 0k,

222222

其大小，既其模依次为：3 ( 2) ( 6) 7,6 3 0 35

于是grad uO的方向余弦为cos

326

,cos ,cos . 777

grad uA的方向余弦为cos

25

,cos

15

,cos 0.

2x y 3 0,

求使grad u 0之点，即求坐标满足 4y x 2 0,之点，由此解得

6z 6 0

x 2,y 1,z 1故所求之点为( 2,1,1).

7．通过梯度求曲面xy 2xz 4上一点M(1, 2,3)处的法线方程。 解：所给曲面可视为数量场u xy 2xz的一张等值面，因此，场u在点

2

2

M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

grad uM (2xy 2z)i xj 2xk故所求的法线方程为

8．求数量场u 3x 5y 2z在点M 1,1,3 处等值面朝Oz轴正向一方的法线方

2

2

2

M

2i j 2k,

x 1y 2z 3

. 212

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解：因grad u

u u ui j k 6xi 10yj 2k x y z

grad u

M

6i 10j 2k

梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为

u

grad u n

习题 4

1.设S为上半球面x2 y2 z2 a2(z 0),求矢量场r xi yj zk向上穿过S的通量【提示：注意S的法矢量n与r同指向】 。解：

2222

2.设S为曲面x y z a(0 z h),求流速场v (x y z)k在单位时间内下

侧穿S的流量Q。 解：Q

(x y z)dxdy (x y x2 y2)dxdy, 其中D为S在xOy面上的

S

D

2

2

2

Q (rcos rsin r)rdrd 投影区域：x y h.用极坐标计算，有

D

d (r2cos r2sin r3)dr

2 h2

hh212

[(cos sin ) ]d h.

342

3

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3.设S是锥面z

x2 y2在平面z 4的下方部分，求矢量场A 4xzi yzj 3zk向

下穿出S的通量 。 解：

解：

4.求下面矢量场A的散度。

（1）A (x3

yz)i (y2

xz)j (z3

xy)k; （2）A (2z 3y)i (3x z)j (y 2x)k; （3）A (1 ysinx)i (xcosy y)j. 解：（1）div A 3x2

2y 3z2

（2）div A 0

（3）div A ycosx xsiny 1 5.求div A在给定点处的值：

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（1）A x3i y3j z3k在点 M(1,0, 1)处；（2）A 4xi 2xyj z2k在点M(1,1,3)处； （3）A xyzr(r xi yj zk在点M(1,3,2)处； 解：（1）div AM (3x 3y 3z)（2）div AM (4 2x 2z)M 8

2

2

2

M

6

r grad(xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk) （3）div A xyzdiv

6xyz， 故div AM 6M 36。

6.已知u xy2z3,A x2i xzj 2yzk,求div (uA)。 解： 公式：

div (uA) u div A grad u A

7．求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量 ： （1）A xi

yj zk,S为球面x y z a;

3

3

3

2

2

2

2

解：（1） A dS div AdV

s

2

2

2

2

222

3(x y z)dV

其中 为S所围之球域x y z a今用极坐标

x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos 计算，有

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3 r rsin drd d 3

22

2

125

d sin d rdr a

005

a4

（2）

A dS

S

4

div AdV 3dV 3 abc 4 abc。 3

习题五

1． 求一质点在力场F yi zj xk的作用下沿闭曲线l:x acost,y asint,

x a(1 cost)从t 0到t 2 运动一周时所做的功。

解：功W

F dl ydx zdy xdz

l

l

a

2 02

2

sin2t a2(1 cost)cost a2costsintdt

a

2

(1 cost costsint)dt 2 a2

2.求矢量场A yi xj Ck(C为常数)沿下列曲线的环量： （1）圆周x y R,z 0； （2）圆周(x 2) y R,z 0。

222

解：（1）令x Rcos ，则圆周x y R,z 0的方程成为

2

2

2

222

x Rcos ,y Rsin ,z 0，于是环量

A dl ydx xdy Cdz (Rsin Rcos )d 2 R.

l

l

222

（2）令x 2 Rcos ，则圆周(x 2) y R,z 0的方程成为

2

222

2

x Rcos 2,y Rsin ,z 0，于是环量

A dl ydx xdy Cdz

l

l

2

[R2sin2 (Rcos 2)Rcos ]d

(R2 2Rcos )d 2 R2

2

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3.用以下两种方法求矢量场A x(z y)i y(x z)j z(y x)k在点M（1,2,3）处沿方向n i 2j 2k的环量面密度。 （1）直接应用环量面密度的计算公式； （2）作为旋度在该方向上的投影。 解：（1）n0

122n122

i j k,故n的方向余弦为cos ,cos ,cos .

333n333

又P x(z y),Q y(x z),R z(y x)根据公式，环量面密度

n

M

[(Ry Qz)cos (Pz Rx)cos (Qx Py)cos ]M

12258619

[(z y) (x z) (x y)]M

3333333

(2)rotM [(z y)i (x z)j (x y)k]M 5i 4j 3k,于是

n

M

122 rot AM n0 (5i 4j 3k) (i j k)

33358619

3333

4．用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。 （1）A (3xy z)i (y xz)j 2xyzk; （2）A yzi zxj xyk; （3）A P(x)i Q(y)j R(z)k.

2

2

2

2

3

2

6xy 2

解：（1）DA z

2yz

3x2

1

2

3y2 2xz ,故有div A 6xy 3y2xz2xy

2

2

2xy (8x 3y)y,

rot A 4xzi (1 2yz)j (z 3x)k.

0z22yz

0x2 ,故有div A 0 0 0 0, （2）DA 2xz

y22xy0

rot A x(2y x)i y(2z y)j z(2x z)k.

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P'(x)00

Q'(y)0 ,故有div A P'(x) Q'(y) R'(z). （3）DA 0

' 0 0R(z)

rot A 0。

5.已知u exyz,A z2i x2j y2k,求rot uA.

u A, 解：rot uA u rotA grad

02z 0

xyz

DA 2x00 ,有rot A 2yi 2zj 2xk,u rotA e(2yi 2zj 2xk),

02y0 grad u exyz(yzi xzj xyk),grad u A

i exyzyzz2

jxzx2

k

xy exyz[(xy2z x3y)i (xyz2 y3z)j (x2yz xz3)k], y2

rot uA exyz[(2y xy2z x3y)i (2z xyz2 y3z)j (2x x2yz xz3)k]

6.已知A 3yi 2z2j xyk,B x2i 4k,求rot (A B).

i

解：A B 3y

j2z20

k

xy 8z2i (x3y 12y)j 2x2z2k. 4

16z

x3 120 , 0 4x2z

2

2

2

x2

0

D(A B) 3x2y

4xz2

故有rot (A B) 0i (4xz 16z)j 3xyk 4z(xz 4)j 3xyk. 习题

六

1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。 （1）A ycosxyi xcosxyj sinzk;

（2）A (2xcosy ysinx)i (2ycosx xsiny)j. 解：（1）记P ycosxy,Q xcosxy,R sinz.

2

2

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i

则rot A

xPj yQk

0i 0j [(cosxy xysinxy) (cosxy xysinxy)]k 0 zR

所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：

10公式法：v P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C1

xyz

x

0dx xcosxydy sinzdz C1

yz

0 sinxy cosz 1 C1 cosz sinxy C.

20不定积分法：因势函数v满足A grad v，即有

vx ycosxy,vy xcosxy,vz sinz,

将第一个方程对x积分，得v sinxy (y,z),

对y求导，得vy xcosxy y(y,z)，与第二个方程比较，知

'

'y(y,z) 0,于是 (y,z) (z),从而v sinxy (z).

再对z求导，得vz '(z),与第三个方程比较，知 (z) sinz，故 (z) cosz C. 所以v cosz sinxy C.

（2）记P 2xcosy ysinx,Q 2ycosx xsiny,R 0. 则

2

2'

i

rot A

xPj yQk

0i 0j [( 2ysinx 2xsiny) ( 2xsiny 2ysinx)]k 0 zR

所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：

1公式法：v P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C

xyz

x

2xdx (2ycosx x2siny)dy 0dz C

yz

x ycosx xcosy x C ycosx xcosy C.

222222

20不定积分法：因势函数v满足A grad v，即有

vx 2xcosy y2sinx,vy 2ycosx x2siny,vz 0,