好好用 矢量分析与场论 谢树艺习题答案清晰版
时间:2025-04-02
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数学,广东石油化工学院,矢量分析与场论,2013年的试卷都在这出,2011届
习题1 解答
1.写出下列曲线的矢量方程,并说明它们是何种曲线。
1 x acost,y bsint 2
x 3sint,y 4sint,z 3cost
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解: 1 r acosti bsintj,其图形是xOy平面上之椭圆。
2 r 3sinti 4sintj 3costk,其图形是平面4x 3y 0与圆柱面
x2 z2 32之交线,为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆c,半径均为a,动圆在定圆外相切而滚动,求动圆上一定点M所描曲线的矢量方程。
解:设M点的矢径为 OM r xi yj, AOC ,
CM与x轴的夹角为2 ;因 OM OC CM
有
r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 i asin 2 j
则
x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 .
故r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j
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2
解:曲线的矢量方程为r ti tj
23
tk 3
dr2
i 2tj 2tk 则其切向矢量为dt
模为|
dr
| 1 4t2 4t4 1 2t2 dt
drdri 2tj 2t2k
/|| 于是切向单位矢量为
dtdt1 2t2
2
r asinti asin2tj acostk 解:曲线矢量方程为
切向矢量为
dr
asin2ti 2
acos2tj asintk dt
t
在t
dr处, 4dt
4
ai a
k 2
22
7.求曲线x t 1,y 4t 3,z 2t 6t 在对应于t 2 的点M处的切线方程和
法平面方程。
由题意得M(5,5, 4),曲线矢量方程为r在t 2的点M处,切向矢量
(t2 1)i (4t 3)j (2t2 6t)k,
drdt
[2ti 4j (4t 6)k]t 2 4i 4j 2k
t 2
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于是切线方程为
x 5y 5z 4x 5y 5z 4
,即 442221
于是法平面方程为2(x 5) 2(y 5) (z 4) 0,即 2x 2y z 16 0
8.求曲线r ti t2j t3k上的这样的点,使该点的切线平行于平面x 2y z 4。 解:曲线切向矢量为
dr
i 2tj 3t2k, ⑴ dt
平面的法矢量为n i 2j k,由题知
22
n i 2tj 3tk i 2j k 1 4t 3t 0
得t 1,
1
。将此依次代入⑴式,得3
1 3
|t 1 i j k, |
故所求点为 1,1 1 ,
t
111i j k3927
1 11
,, 3927
习题2 解答
解: 1 场所在的空间区域是除Ax By Cz D 0外的空间。
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等值面为
11
,这是与(C1 0为任意常数) C1或Ax By Cz D 0
Ax By Cz DC1
平面Ax By Cz D 0平行的空间。
2 场所在的空间区域是除原点以外的z2 x2 y2的点所组成的空间部分。
等值面为z2 x2 y2sin2c, x2 y2
0
,
当sinc 0时,是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); 当sinc 0时,是除原点外的xOy平面。
解:经过点M 1,1,2 等值面方程为
x2 y212u z 12
2
1,
即z x2
y2
,是除去原点的旋转抛物面。
3.已知数量场u xy,求场中与直线x 2y 4 0相切的等值线方程。 解:设切点为 x0,y0
,等值面方程为xy c x0y0,因相切,则斜率为 k
y0x 1
,即x0 2y0 02
点 x0,y0
在所给直线上,有
x0 2y0 4 0
解之得y0 1,x0 2 故xy 2
4.求矢量A xy2
i x2
yj zy2
k的矢量线方程。 解: 矢量线满足的微分方程为
A dr 0, 或
dxxy2 dyx2y dz
zy
2
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有xdx ydy,
dxdz . xz
x2 y2 C1,
(C1,C2为任意常数) 解之得
z C2x
5.求矢量场A x2i y2j (x y)zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。 解: 矢量线满足的微分方程为
dxdydz
. 22
(x y)zxy
由
dxdx11
得 C1, 22
xyxy
d(x y)dzd(x y)dz
即 .解得x y C2z. ,22
x yz(x y)zx y
按等比定理有
11
1 C1,
y故矢量线方程为 x又M(2,1,1)求得C1 ,C2 1
2 x y Cz
2 111
y2. 故所求矢量线方程为 x
x y z
习题3 解答
1.求数量场u xz 2yz在点M 2,0, 1 处沿l 2xi xyj 3zk的方向导
23
2
2
4
数。
解:因l
M
2xi xy2j 3z4k
M
4i 3k,其方向余弦为
cos
43,cos 0,cos . 55
在点M(2,0, 1)处有
u u u
2xz3 4, 4yz 0, 3x2z2 2y2 12, x y z
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所以
u43
( 4) 0 0 12 4 l55
2.求数量场u 3x2z xy z2在点M 1, 1,1 处沿曲线x t,y t2,z t3朝t增大一方的方向导数。
解:所求方向导数,等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为t 1,从而在点M处沿所取方向,曲线的切向方向导数为
dxdt
1,
M
dydt
2t
M
t 1
2,
dzdt
3t2
M
t 1
3,
3其方向余弦为cos
1,cos u y
2,cos
u z
.
又
u x
(6xz y)M 7,
M
x
M
M
1,
(3x2 2z)
M
M
5。
于是所求方向导数为
u l
(
M
u u u1 2324cos cos cos ) 7 ( 1) 5 x y zM
3.求数量场u xyz在点M 2,1, 1 处沿哪个方 …… 此处隐藏:6095字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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