现代控制理论-研究生课程

《现代控制理论》习题

第一章 控制系统的状态空间模型

1.1 考虑以下系统的传递函数：

Y(s)s 6

U(s) s2

5s 6

试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 1.2 考虑下列单输入单输出系统：

y 6 y

11y 6y 6u 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。

1.3 考虑由下式定义的系统：

x

Ax Buy Cx

式中

A 1

2 －4－3 ，B 1

2

,

C [11]

试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 1.4 考虑由下式定义的系统：

x

Ax Buy Cx

式中

－101 0

A 1

－2

0 B 0 ,C [11 0

3 ， 1

试求其传递函数Y(s)/U(s)。

1.5 考虑下列矩阵：

0100 A

0010 0001 1

00

0

试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ

3 和λ4。再求变换矩阵

P，使得

P 1AP diag( 1, 2, 3, 4)

0]

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第二章 状态方程的解

2.1 用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数eAt。

06

1） A

1 5

010

01； 2） A 0 6 11 6

2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数eAt。

01 －20 0

1） A ； 2） A 0－1 ； 3） A 100 1 12

； 4） A 0 01

110 100 010

5) A 0 10； 6） A 010； 7） A 001 00 2 012 000

2.2 给定线性定常系统

Axx

式中

1 0

A

3 2

且初始条件为

1 x(0)

1

试求该齐次状态方程的解x(t)。 2.4 已知系统方程如下

01 1 xx u 6 5 0 y 1 1 x

求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。

1） u(t) 0,x(0) ；

1 0

2） u(t) 1(t),x(0)

0 0

3） u(t) 1(t),x(0) ；

1 1

4） u(t) t 1(t),x(0)

0 1

2.5 验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，求相应的状态系数矩阵A。

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1 t 3t

(e＋e) 2

t

e t e 3t

Ax t ，已知 2.6 对线性定常系统x

1

( e t e 3t) 4

1 t

(e e 3t) 2

e 2t 1

x 0 时 x t 2t

1 e 2e 2

x 0 时 x t t

1 e

求系统矩阵A。

t

2.7 已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵 (t,0)。

t

1） A(t)

00

； 0 1

2） A(t)

t0 1

A(t)x和其伴随方程z AT(t)z，其状态转移矩阵分别用 (t,t0)和2.8 给定系统x

z(t,t0)表示，证明： (t,t0) Tz(t,t0) I。

2.9 求解下列系统的状态响应。

00 1

x x 1 u,t0 1

x(1) ,

2

T

u(t) 1(t 1)

2.10 已知如下离散时间系统， x(0) 11 ，u(k)是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。

0.50.125 1

x(k 1) x(k) 1 u(k)

0.1250.5

2.11 已知如下离散时间系统，试求u(k)，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。

10.5 0.3

x(k 1) x(k) 0.4 u(k)

00.1

第三章 线性系统的能控性与能观性

3.1 考虑由下式定义的系统

Ax Bux

y Cx

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式中

－1A 0

1

2－1

2 2

0 ,C [110]

1 ，B

1 1

试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？

3.2 下列能控标准形

Ax Bux

y Cx

式中

0A 0

60 0

0 ,C [2091]

01 ，B

11 6 1

1

是状态能控和状态能观测的吗？

3.3 考虑如下系统

Ax Bux

y Cx

式中

0A 0

60 0

1 ,C [c01 ,B 1 11 6 0

1

c2c3]

除了明显地选择c1 c2 c3 0外，试找出使该系统状态不能观测的一组c1， c2和c3。

3.4 给定线性定常系统

Ax Bux

y Cx

式中

1 10 0

,B 0 ,C 110

A 1 20

0 3 0 1

试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。 3.5 给定线性定常系统

Ax Bux

y Cx

式中

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1 10 0

,B 1 ,C 111

A 1 20

0 3 0 1

试将该状态方程化为能观测标准形。

第四章 动态系统的稳定性分析

4.1 试确定下列二次型是否为正定的。

22Q x12 4x2 x3 2x1x2 6x2x3 2x1x3

4.2 试确定下列二次型是否为负定的。

22Q x12 3x2 11x3 2x1x2 4x2x3 2x1x3

4.3 试确定下列非线性系统的原点稳定性。

2

1 x1 x2 x1(x12 x2x)

2 x1 x2 x2(x x)x

22

V x1 x2

2122

考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：

4.4 试写出下列系统的几个Lyapunov函数

1 11 x1 x x 2 3 x 2 2

并确定该系统原点的稳定性。

4.5 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性

1 x1 2x2 2x

2 x1 4x2 1x

4.6 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性。

1 x1 3x2x

2 3x1 2x2 3x3x

第五章 线性系统的综合

5.1 给定线性定常系统

Ax Bu x

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