第9章 正弦量与相量

第9章 正弦量与相量 重点： 1. 正弦交流电的基本概念 2. 正弦量的相量表示 3.电路元件与定律的相量模型

9.11. 正弦量

正弦量的基本概念A

Y º I º C

N S X

w

Z

Bi T O 波形： t

瞬时值表达式：

i(t)=Imcos(w t+y)

y/w

正弦量为周期函数y(t)=y(t+kT )

周期T (period)和频率f (frequency) :

1 频率f 周期T

周期T :重复变化一次所需的时间。单位：s(秒)

频率f :每秒重复变化的次数。 单位：Hz(赫兹)

周期T 、频率f 与角频率ω 交流电的角频率ω就是角位移与所用的时间 之比，它表示了交流电每秒所经过的电角度。交 流电变化一周，就相当于变化了2π弧度。角频 率的单位是弧度/秒，它与周期、频率的关系为

w =2 / T 2 f

正弦电流电路

激励和响应均为正弦量的电路 (正弦稳态电路)称为正弦电路 或交流电路。

研究正弦电路的意义： (1)正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重 要的地位。 优点： 1)正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分 运算后仍是同频率的正弦函数 2)正弦信号容易产生、传送和使用。

(2)正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。

f ( t ) Ak cos(kwt k )k 1

n

对正弦电路的分析研究具有重要的理论价 值和实际意义。

2. 正弦量的三要素

i(t)=Imcos(w t+y)

(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im 反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率(angular frequency)ω 相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。

w 2 f 2 T

单位： rad/s ,弧度 / 秒i Im O T 2 twt

(3) 初相位(initial phase angle) y 反映正弦量的计时起点， 常用角度表示。

y /w y

同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i一般规定：|y | 。 0

t

y =0 y =- /2

y =

例

100 50

i

已知正弦电流波形如图，w=103rad/s, (1)写出i(t)表达式； (2)求最大值发生的时间t1

tt1

解 i ( t ) 100 cos(103 t y )

0

t 0 50 100 cosy

由于最大值发生在计时起点右侧

i ( t ) 100 cos(103 t 当 10 t1 3 有最大值3

3

y 3 y 3) t1=

3103

=1.047ms

3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 则 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i 等于初相位之差

规定： |j | (180°)。

j >0, u超前i j 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值); u, i u i

yu yi j j <0, i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。

O

wt

特殊相位关系：

j = ( 180 ) ,反相：u, iu

o

j = 0, 同相：u, i u i

0u, i u

iw t

0 j= /2:

wt

i 0

u 领先 i /2, 不说 u 落后 i 3 /2;

i 落后 u /2, 不说 i 领先 u 3 /2。

wt

同样可比较两个电压或两个电流的相位差。

例

计算下列两正弦量的相位差。 解

(1) i1 ( t ) 10 cos(100 t 3 4) i2 ( t ) 10 cos(100 t 2)( 2) i1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) i2 ( t ) 10 sin(100 t 150 ) ( 3) u1 ( t ) 10 cos(100 t 300 ) u2 ( t ) 10 cos(200 t 450 ) (4) i1 ( t ) 5 cos(100 t 30 )0

j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4

i2 (t ) 10 cos(100 t 1050 )j 300 ( 1050 ) 1350

w1 w 2不能比较相位差

i2 (t ) 3 cos(100 t 1500 )j 300 ( 1500 ) 1200

i2 ( t ) 3 cos(100 t 30 )0

两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。

4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其 平均效果工程上采用有效值来表示。 物 理 意 义

周期电流、电压有效值(effective value)定义

直流I

R

交流i

R

W RI T2

W Ri ( t )dt2 0

T

电流有效 值定义为

1 T 2 I i ( t ) d t T 0def

有效值也称均方根值 (root-meen-square)

同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos(w t+ )

1 U Tdef

T

0

u ( t )dt

2

1 I T

T

0

I cos ( w t Ψ ) dt2 m 2T 0

T

0

cos ( w t Ψ ) dt 2

1 cos 2(w t Ψ ) 1 dt t 2 2

T 0

1 T 2

1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2

Im 2I

i ( t ) I m cos(w t Ψ ) 2 I cos(w t Ψ )

同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：

U

1 2

Um

或

U m 2U

若一交流电压有效值为U=220V,则其最大值为Um 311V;

注 (1)工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值 指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按 最大值考虑。 (2)测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。

i , Im , I

U=380V,

Um 537V。

(3)区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。

9.2 正弦量的相量表示1. 问题的提出：电路方程是微分方程： +i

R

C L

u

d uC duC LC RC uC u( t ) dt dt

2

_

两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。

i1 2 I1 cos(w t y 1 )

i2 2 I 2 cos(w t y 2 )