南京财经大学

2012年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）

科目代码： 615 科目名称： 数学分析 满分： 150 分

注意:

①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须题纸试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！一、计算题 （共 5 题，每题 8 分，共计 40 分）

z 2zx（1（设z f(x y,x y,)，其中f具有二阶连续偏导数，求 ,。 x x yy

（2（将函数f(x) x2( x )展开为傅里叶级数。

x2 (arctanx)2

（3（求极限 lim。x 0tanx(arcsinx)3

（4（在( 1,1)内求幂级数 ( 1)nxn

n 1

L n 1的和函数，并且求 n的和。n2n 1 （5（求曲线积分 (z y)dx (x z)dy (y x)dz，其中L是以A(a,0,0)，B(0,a,0)

，和C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA的方向。

二、 （共 1题，共计12 分）

设函数f(x)在[0,1]上非负连续，f(1) 0，证明：存在c (0,1)，使得f(c) f(t)dt。0c

三、 （共 1 题，共计12 分）

设f(x)在[0,1]上有连续导函数，f(0) 0，证明：

11122 0[f(x)]dx 2 0[f (x)]dx。

四、（共 1 题，共计12 分）

设函数f(x)在闭区间[a,b]上无界，证明：存在x0 [a,b]，使得f(x)在点x0的任意邻域内无界。

五、（共 1 题，共计 12分）

cosxdx在(0, )内连续。证明：函数F( ) 1x

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六、（共 1 题，共计12 分）

设连续函数f(x)在[1, )上单调减少且f(x) 0，若xn f(k) f(x)dx,

k 11nn

证明：数列 xn 收敛。

七、（共 1 题，共计 12 分）

设u u(x,y)具有二阶连续偏导数，证明：存在常数a,b使得在变换s x ay，

2u 2u 2u 2u 0。t x by下，可将微分方程2 4 32 0化为 s t x y x y

八、（共 1 题，共计12 分）

设f(x)在[ 1,1]上有三阶导数，且f( 1) f'(0) 0,f(1) 1，证明：存在 ( 1,1)，使得f'''( ) 3。

九、（共 1 题，共计 12 分）

设f(x,y,z)是R3上的连续函数，且满足limf(x,y,z) ，其中r x2 y2 z2，r

则一定存在(x0,y0,z0) R3，使得f(x0,y0,z0) (x,y,z) R3inff(x,y,z)。

十、（共 2 题，共计 14 分）

1设f(x) n，（1）证明：f(x)在[0, )上可导，且一致连续；（2）证明：反常积分2 xn 0

0f(x)dx发散。

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