第四节微元法旋转曲面面积

高数

§4旋 转曲面积面一、微元

定积法 分 f ( xdx 是)和式极的限 iml f (i) x i ,如 果所究的a研 T 0 i 1 b

问n题可以按总分割“近似求、与取极限和”个三步骤归结为能这 求和式的种限极，那么应，用定分就积可求出以问的结果题。了使为 积定分的应问题能用便简地回到求归积分 定 f( x)xd上，我来往们a往b 采用下介以的方绍—微法法元。 何谓微法？元 个待一的量 求 若要用Q定积表分示来，它必须要具出两个特性备：1

高数

)、1是Q一与个变量其 x变的化区间 [a, ]有关的量；b )2、Q对[a,于b]具有 数代可加的，性 即 Q Q 其中 Q 是a, []b的子区间 x, [x ]所x应对的分部量。果如Q的 近表似达 式是：Q f x( )xd d ,Q则 要计算的 Q量 Q d Q f( x )x.daa bb只要把定积计算出来，就是该问题所分求的果结所求(Q量的最终值)这种方 法称微为元，其特法是直点观简、、单方。便应在用定积解分 实决际题时问常被使用。经 使用微元的法键就是正关给确出 Q的 近似达表，即

2式

高数

Q f ( x)d x dQ Q ( x f )x o ( ),x 若不能保：证 Q f ( x) x (ox ), 则Q 不就能f用( )x x为近似表作式，否达用则 微元“”将导法错致误的结果。严要检格：验Q f ( )xx是 为否x的 高阶无穷小，往往不是一件易容的事因此，对Q f (x )的合理x要性 特小别。心对 前于所学面的过平图面面形积式、公立体积公式和体长弧式公 可以都微用元法到。 二、得转旋面曲面积的 1、)设面光滑曲线C由直平角坐方程 y 标 f (x) x, [,a b,](不妨 设f (x ) 0给)出，曲线则C绕x旋转一周所得旋轴转曲面面为：积 S 2 f ( x)1 f x() dx. 2 ba3

高数

证明如图(用微，元法出导式)公 .y

S

y=(f)xoa

x

x x b

x2)、若平面滑光线C由参数方曲程x: x t () ,y y( t), t [ , ] ,

4给出

高数

,:且y (t) 0则曲线， C绕轴旋x转周所得一转旋曲面积为： S 面2 y t()

xt ( )2 (yt) dt.

23、若)平面光曲滑C由线极坐标程：方r r ( ), [ , ]( [ , ] [ 0, ], r )( 0 ), 则曲C线 极轴旋转绕一所周旋转得面面积为：曲 S 2 r ( ) is n

r ()

2 r( ) d2

64

C

y例 1计圆 x 2算 y 2 R2 [ x在1 x2, ] [ ,R R]上 弧段绕的x轴转一周旋所得球旋带的面积 。例 2算由星计线形x: a cos t 3 y , ais n t3-5

2o-2 -4

5

x绕x轴转旋周一得旋所曲转的面积。星面形线-6