线性系统的能控性判据分析

线性系统的能控性判据分析

摘要：能控性是线性系统的一个基本结构特征，它的出现对于系统控制和系统估计问题的研究具有重要意义。本文主要讨论线性系统的能控性判据。其中，能控性的判据分析有很多种方法，最常用的及时约旦标准型方法。

一：问题的提出

设计一个线性系统，我们总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。因此，判断一个系统能控性问题就显得尤为重要。能控性是从状态的控制能力方面来揭示了控制系统的一个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性为存在条件的。 1. 能控性定义 能控性的直观讨论

从状态空间的角度进行讨论：输入和输出构成系统外部变量,状态为系统内部变量。能控性主要看其状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,由任意的始点到达原点,为能控,反之为不完全能控。具体来说就是指外加控制作用u(t) 对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。 二：问题的解决

我们利用线性系统的能控性判据来判断其能控性。

设线性定常系统状态方程为：

Ax Bu,x

x为n维状态向量

x(0) x0,

t 0

(1)

,u为p维输入向量,A,B为n n,n p常阵.

能控性判据：

1.格拉姆矩阵判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 t 1 0 ，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵

2.秩判据

Wc[0,t]

t

e

At

BBe

T At

T

dt为非奇异

其中，该判据的证明用到了范数理论中的矩阵范数，在此不再赘述。

线性定常系统（1）为完全控的充分必要条件是

rank[B AB A

n 1

B] n

n 1

其中n为矩阵A的维数,Qc [B AB A

B]称为系统的能控性判别阵.

3.PBH秩判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是，对矩阵A的所有特征值

或等价地表为

i(i 1,2, ,n)

均成立

rank[ iI A,B] n

rank[sI A,B] n

i 1,2, ,n

s 也即(sI A)和B是左互质的.

4. PBH特征向量判据

线性定常系统（1）为完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列

相正交的非零左特征向量。也即对A的任一特征值，使同时满足

5.约当规范形判据

A i ,

T

T

B 0的特征向量 0.

T

线性定常系统完全能控的充分必要条件是：

(1)当矩阵A的特征值λ1, λ2, … λn为两两相异时，有系统的对角规范形

其中

(2)当矩阵A的特征值为λ1(σ1重), λ2(σ2重), … λn(σn重),且(σ1＋ σ2＋…＋ σl)＝n时，有约当规范形 x u A Bx

其中：

n nA

J1

J2

Jl

B1 B2 B(n p)

Bl

Ji1

Ji

i

i

Ji2

Ji

i

Bi

( i p)

Bi1

Bi2

Bi i

i

Jik r r

1

i

1

ikik

1 i

(ri1 ri2 ri i) i

~

Bik(k 1,2, , i)

~ bi1 ~ bi2 ~ bi i

的最后一行所组成的矩阵

对i=1,2,…,l 均为线性无关

例1. 给定一个线性时不变系统的状态方程为 100 1 0 3 11

11 1 100-1 1

0 2 1 02011

x x

0

0 0

2

1

1

U

0 -1

0 2 00011

00011 1 0

试判断其能控性。 解：（1）计算特征值。Det(sI-A)=(s-2)5 s

可以求得其特征值λ1 =2, λ2 =0

（2） 计算重特征值λ1 =2,的几何重数α1. 由

0 11 1 10

111100 0000 1 1

(2I A)

Rank(2I-A)=4 000011

00001 1

0000 11

（3）对重特征值λ1 =2计算Rank(2I-A)m =6-vm 中的vm ，其中取 m=0,1..对

此，由（2I-A）0 =I,Rank(2I-A) 0=6,可知v0=0,由此可以求得v1=2，v2=4，v3=5

（4）确定矩阵A的属于特征值λ1 =2的广义特征向量组，首先列出下表：

T

由满足(2I-A)3V11 =0，(2I-A)2V11≠0定出一个独立型列向量V11 =[0 0 1 0 0 0].由此，可导出各个导出型列向量为：

V(1)11 =(2I-A)2 V11=[2 2 0 0 0 0]T ， V(2)11= -（2I-A）V11 =[1 -1 0 0 0 0]T V(3)11= V11=[0 0 1 0 0 0]T,

再之，由满足{V12，V12(2)}线性无关，（2I-A）2V12 =0，（2I-A）V12≠0

可以定出一个独立型列向量V12 =[0 0 1 -1 1 1]T .。由此，可导出各个导出型列向

量为V(1)12 =(2I-A) V12=[0 0 2 -2 0 0]T ，V(2)12= V12=[0 0 1 -1 1 1]T

（5）确定矩阵A的属于特征值λ2=0的特征向量。由（λ2 I-A）V2=AV2=0

求得其一个特征向量为V2= V12=[0 0 0 0 1 -1]T

-1

（6）组成变换阵Q并计算Q.对此有

10000 1/4000 2 1/4

2 100001/2 1/2000

001210 00110

Q 逆矩阵 P

000 2 10 00 1/2 1/4 0

000011 00001/2 0001 1 0 0001/2 0

（7）导出其状态方程的约当标准型，对此有，

1/4 0 210000

1 1/2021000

0

Q X PAQX PBU=

0 0

0

.

0

0

1/4 1/2

1/2

000

200

020

012

0000

对应于λ1=2和λ2=0的各约当小块的末行，找出 …… 此处隐藏：594字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……