【选修2-3课件】1.9组合(三)

复习巩固：1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2、组合数: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:m n! A n(n 1)(n 2) (n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!

我们规定：Cn 1.0

定理 1:

C Cn

m

n m n

性质2一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？

解：(1) ⑶

C 56C 353 7

3 8

⑵

C 212 7

思考：上面所求出的三个组合数有怎样的关系？

我们发现：

C

3 8

C C2 7

3 为什么呢 7

我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球.因此根据分类计数原理， 上述等式成立.

性质2证明:

n! n! m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]! n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! (n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!

C Cm n

c n 1 c n c nm 1 n

m

m

m 1

你能证明这个性质吗？

c n 1 c n c n

m

m

m 1

注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数. 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算.在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用.

C例1(1)

计算：

m n 1

C Cm n

m 1 n

C 3 100

C

3 99

C 99; 100 99 983

2

( 2)

2C

3 8

3 2 12

161700

C9 C8 .3 8 3 8 2 8 2 8 3 8

2 C (C C ) C C 56

例2 求证: m m 1 m m 1 ( 1 ) Cn 1 Cn Cn 1 Cn 1 ;

C 2C C . m 1 m 1 m (2) C n C n 2C n m m 1 m 1 m m m 1 m 1 ( 1 ) (C n C nC n (1C n C nC 1 n ) C n) m 1 m m 1 m C n CC n n 1 1 Cn m m 1 C n C n 1 . 2.(2) Cm 1 n m 1 n m n m 1 n 2

m m m 1 C C C n n 组合数性质2: n 1

快速反应: 98 97 6.计算 C100+C100

8 n

1666502 100

7.若C2 3

7 n 1

____. C C , 则 n=147 n

8. C +C +C + +C2 4 2 5

166649 _______ . 0 1 2 9 9.计算 C +C +C + +C 2002 ______ .4 5 6 132 3 2 4 2 5 2 100

8.C C C C 2 3 2 2 2 C3 C3 C4 C5 C100 1

C C C C 3 C101 1 1666493 4 2 4 2 5

2

100

1

几种常用的解题方法一、等分组与不等分组问题例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； (1)分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法？ (2)分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3 本，有多少种分法？ (3)分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一 人得3本，有多少种分法？ (4)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少 种分法？ (5)平均分成三堆，有多少种分法？ (6)分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？ (7)分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？

练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?

解: (1) C C C C 3150 2 2 C C C (2) 6 4 C 189006 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2

二、不相邻问题插空法例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有( ) 3 3 3 3 A C C11 种 (A) 8 种(B) 8 种 (C) C9 种 (D)

三、混合问题，先“取”后“排”例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 3 1 4 次测试是次品。故有： C C A 576 种可能。4 6 4

练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先取后排方法:3 1 2 3 C5 C3 C4 A3 1080

2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生

体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校(先分堆后分配)

C C A6 4

2

2

3 3

540

解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医 生和护士.1 3 2 6 1 2 2 4

(C C ) (C C ) 1 540

四、分类组合,隔板处理例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 409529

练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？

2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步

走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？