1 计算题

2.1无力矩方程 应力

试用无力矩理论的基本方程，求解圆柱壳中的应力（壳体承受气体内压p ，壳体中面半径为R ，壳体厚度为t ）。若壳体材料由20R[σ(b) =400Mpa,σ(s) =245MPa]改为16MnR[σ(b) =510MPa, σ(s) =345MPa]时，圆柱壳中的应力如何变化？为什么？

2.3 短圆筒 临界压力

1、 三个几何尺寸相同的承受周向外压的短圆筒，其材料分别为（MPa y 220=σ，3.0,1025=⨯=μMPa E ）、铝合金（3.0,107.0,1105=⨯==μσMPa E MPa y ）和铜（31.0,101.1,1005=⨯==μσMPa E MPa y ），试问哪一个圆筒的临界压力最大，为什么？

2.4临界压力 爆破压力

有一圆筒，其内径为1000mm ，壁厚为10mm ，长度为20m ，材料为20 R(3.0,102,245,4005=⨯===μσσMPa E MPa MPa y b )。①在承受周向外压时，求其临界压力cr p 。②在承受内压力时，求其爆破压力b p ，并比较其结果。

2.5临界压力

有一圆筒，其内径为1000mm ，壁厚为10mm ，长度为20m ，材料为20 R(3.0,102,245,4005=⨯===μσσMPa E MPa MPa y b )。①在承受周向外压时，求其临界压力cr p 。②在承受内压力时，求其爆破压力b p ，并比较其结果。

2.6无力矩理论 应力

对一标准椭圆形封头（如图所示）进行应力测试。该封头中面处的长轴D ＝1000mm,厚度t=10mm,测得E 点（x=0）处的周向应力为50MPa 。此时，压力表A 指示数为1MPa ，压力表B 的指示数为2MPa ，试问哪一个压力表已失灵，为什么？

2

2.7 封头，厚度

试推导薄壁半球形封头厚度计算公式

2.8无力矩理论 应力

有一锥形底的圆筒形密闭容器，如图2－54所示，试用无力矩理论求出锥形壳中的 最大薄膜应力θσ与ϕσ的值及相应位置。已知圆筒形容器中面半径R ，厚度t ；锥形底的半锥角α，厚度t ，内装有密度为 ρ的液体，液面高度为H ，液面上承受气体压力C P

2.9无力矩理论 应力

一单层厚壁圆筒，承受内压力i p ＝36MPa 时，测得（用千分表）筒壁外表面的径向位移o w ＝0.365mm ，圆筒外直径o D =980mm ，E=5210⨯MPa ，μ＝0.3。 试求圆筒内外壁面应力值。

2.10无力矩理论 应力

3 有一容器端盖是由经线2

/y x a =所形成的回转薄壳，如图所示，其中气体的压力为1Mpa ，筒体直径为1600mm ，盖及筒体的厚度为12mm ，试用无力矩理论计算A 、B 两点的压力。 （参考公式：曲线第一曲率半径()3/22'1''1y R y

⎡⎤+⎢⎥⎣

⎦=）

2.11圆板

有一周边固支的圆板，半径R=500mm ，板厚t=38mm ，板面上承受横向均布载荷 P=3MPa ，试求板的最大挠度和应力（取板材的E=2*e5MPa ，泊松比0.3 ）。

上题中的圆平板周边改为简支，试计算其最大挠度和应力，并将计算结果与上题作一分析比较

2.12 圆板 圆形塔板

一穿流式泡沫塔其内径为mm 1500，塔板上最大液层为mm 800（液体重为34/105.1m N ⨯=γ），塔板厚度为mm 6，材料为低碳钢（MPa E 5

102⨯=，3.0=μ）。周边支承可视为简支，试求塔板中心处的挠度；若挠度必须控制在mm 3以下，试问塔板的厚度应增加多少？

2.13环板

如图中所示，外周边简支，已知b 所示内周边受均布力矩的环板与c 所示内周边受均布力环板的解，求a 所示内周边固支环板的解。

附图

2.14薄壳

如图所示储满液体的锥壳，液体密度为 ，试写出应力表达式。

2.15 强度理论

下图为一圆筒在内压作用时，压力与容积变化量的关系图。看图回答下列问题并推导相关公式：

（1）OA段为直线，为什么？

（2）A、C、D点对应的压力分别称为什么？

4

5 （3）AC 段为弹塑性变形阶段，CD 段为爆破阶段，试分析曲线具有上图形状的原因。

（4）试推导出基于Tresca 屈服失效判据（又称为最大切应力屈服失效判据或第三强度理论）的i P 与C R 的关系（i P 为筒体所受内压，C R 为弹性区与塑性区分界面半径），假设材料为理想弹塑性材料，屈服点为s σ．并用所推导的公式写出S P （图中A 点压力）表达式。

2.16容器

有一压力容器，一端为球形封头，另一端为椭圆形封头，如图所示。已知圆筒的平均直径为2000 mm D =，封头和筒体壁厚均为20 mm ，最高工作压力 2 MPa p =，试确定：

（1）筒身经向应力ϕσ和环向应力θσ；

（2）球形封头的ϕσ和θσ

（3）椭圆形封头/a b

、2、3时，封头的最大应力所在位置。试画出应力分布图。 参考公式：42221/2

[(]2p a x a b t b

ϕσ--= 42221/24

4222[(][2]2()

p a x a b a t b a x a b θσ--=---

2.17无力矩理论应力计算

容器如图所示，圆筒中面半径为R，壁厚为t，圆锥与圆筒的壁厚相等，半锥顶角为α。容器内承受气体压力p的作用，且圆筒中液柱高为H1，圆锥液柱高为H2，液体密度为ρ，忽略壳体的自重。

（1）按无力矩理论推导A-A、B-B、C-C、D-D截面处的经向应力和周向应力的计算公式；（或推导壳体上各处的经向应力和周向应力的计算公式）；

（2）若H1 >H2，求出圆锥壳中最大应力作用点的位置及大小。

2.18薄膜应力

半径为R，厚度为t，密度为ρ的球形盖，求因自身质量作用在容器中引起的薄膜应力。

q

2.19温差应力

蒸汽管为Φ108×4mm的无缝钢管，如果管道两端刚性固定，安装时温度t1=20℃，且无装配应力，工作时输送压力为0.1Mpa（绝）的蒸汽，求输送管外径不变、管壁厚度增大一倍时，求管壁温差应力及支座约束反力。

6

7 2.20应力 径向位移

一仅受内压作用的单层厚壁圆筒，内压Pi ＝40MPa ，外径Do ＝1100mm ，内径Di=1000mm ，E=2*e5MPa ，μ＝0.3 ，求圆筒外壁面的应力值和径向位移。

2.21薄膜应力

*一离心机，用来沉降悬浮料液，物料密度3

1500/kg m ρ=。转筒直径D=800mm ，壁厚

t=8mm ，高H=700mm 。材料为碳钢（密度37800/m kg m ρ=），弹性模量52.110E MPa =⨯,当以1500r/min 回转时，液体自由表面可近似与壁面平行。回转半径r=300mm 。（1）求环向薄壁应力θσ（2）求经向薄壁应力ϕσ.

4.1内压容器 筒体厚度

一内压容器，设计（计算）压力为0.85MPa ，设计温度为50℃；圆筒内径Di=1200mm ，对接焊缝采用双面全熔透焊接接头，并进行局部无损检测；工作介质无毒性，非易燃，但对碳素钢、低合金钢有轻微腐蚀，腐蚀速率K≤0.1mm/a ，设计寿命B=20年。试在Q235-A•F 、Q235-A 、16MnR 三种材料中选用两种作为筒体材料，并分别计算筒体厚度。

4.2筒形储存

一顶部装有安全阀的卧式圆筒形储存容器，两端采用标准椭圆形封头，没有保冷措施；内装混合液化石油气，经测试其在50℃时的最大饱和蒸气压小于1.62MPa （即50℃时丙烷的饱和蒸气压）；筒体内径Di=2600mm ，筒长L=8000mm;材料为16MnR ，腐蚀裕量C2=2mm ，焊接接头系数φ=1.0，装量系数为0.9。试确定（1）各设计参数；（2）该容器属第几类压力容器；（3）筒体和封头的厚度（不考虑支座的影响）；（4

）水压试验时的压力，并进行应力

校核。

4.3封头形式

今欲设计一台乙烯精榴塔。已知该塔内径Di=600mm，厚度δn=7mm，材料选用16MnR，计算压力pc=2.2MPa，工作温度t=-20～-3℃。试分别采用半球形、椭圆形、碟形和平盖作为封头计算其厚度，并将各种形式封头的计算结果进行分析比较，最后确定该塔的封头形式与尺寸。

4.4筒体的厚度

一多层包扎式氨合成塔，内径D i=800mm，设计压力为31.4MPa，工作温度小于200℃，内筒材料为16MnR，层板材料为16MnRC，取C2=1.0mm，试确定筒体的厚度。

4.5容器

下图所示为一立式夹套反应容器，两端均采用椭圆形封头。反应器筒体内反应液的最高工作压力p w=3.0MPa，工作温度Tw=50℃，反应液密度ρ=1000kg/m3，顶部设有爆破片，筒体内径D i=1000mm，筒体长度L=4000mm，材料为16MnR，腐蚀裕量C2=2mm，对接焊缝采用双面全熔透焊接接头，且进行100%无损检测；夹套内为冷冻水，温度10℃，最高压力0.4MPa，夹套筒体内径D i=1100mm，腐蚀裕量C2=1mm，焊接接头系数φ=0.85。试进行如下设计：（1）确定各设计参数；

（2）计算并确定为保证足够的强度和稳定性，内筒和夹套的厚度；

确定水压试验压力，并校核在水压试验时，各壳体的强度和稳定性是否满足要求。

8

有一受内压圆筒形容器，两端为椭圆形封头，内径D i=1000mm，设计（计算）压力为2.5MPa，设计温度300℃，材料为16MnR，厚度δn=14mm，腐蚀裕量C2=2mm，焊接接头系数φ=0.85；在筒体和封头上焊有三个接管（方位见题图），材料均为20号无缝钢管，接管a规格为φ89×6.0，接管b规格为φ219×8，接管c 规格为φ159×6，试问上述开孔结构是否需要补强？

9

器设计规定”中推荐中径公式作为高压容器内壁相当应力的计算式，同时规定安全系数为1.6，试利用第四强度理论说明此种规定的合理性。

4.8塔，厚度

一穿流式泡沫塔其内径为1500mm，塔板上最大液层为800mm（液体密度为1.5 kg/ ），塔板厚度为6mm，材料为低碳钢（E＝2 MPa，u＝0.3）。周边支承可视为简支，试求塔板中心处的挠度；若挠度必须控制在3mm以下，试问塔板的厚度应增加多少？

4.9 塔，焊接接头，腐蚀裕量

今需要制造一台分馏塔，塔的内径D=2000mm，，塔身长（指圆桶长+两端椭圆形封头直边高度）L=6000mm，封头曲面深度h=500mm，塔在350摄氏度及真空条件下操作，腐蚀裕量为2mm，焊接接头系数为0.85。现库存有8mm、6mm、4mm厚的Q235-A钢板，问能否用这三种钢板来制造这台设备。

10

11

4.10设计压力，腐蚀

某圆柱形容器的设计压力为P=0.85MPa;设计温度为t=-50℃;内直径为1200mm;总高4000mm ；对接焊缝采用双面全熔透焊接接头,并进行局部无损检测，容器盛装液体介质，介质密度ρ＝1500kg/m3，介质具有轻微的腐蚀性;腐蚀速率K≤0.1mm/年;设计寿命B=20年，试回答以下问题：

1.该容器一般应选用什么材料？

2.若在设计温度下材料的许用应力为[σ]t=170MPa ，求筒体的厚度？

3.水压试验时的压力，并进行应力校核。

4.该容器是否可按GB150设计？是否要接受《压力容器安全技术监察规程》的监督和检查。

4.11卧式容器，封头，厚度

一台公称直径DN=2600mm 的双鞍座卧式容器，两端为标准椭圆形封头，筒长（焊缝至焊缝）L0=6000mm ，设计压力P=0.8MPa ，设计温度T=60℃，材料20R ，腐蚀裕量C2取2mm ，焊接接头系数Ф=0.85。已知设计温度下20R 的许用应力，在厚度为6—16mm 时，

[σ]t=133MPa ；厚度为16—25mm 时，[σ]t=132MPa 。试确定容器厚度。

4.12 外压容器设计

外一减压塔，如所示，内径mm D i 2400=，壁厚附加量 mm C 2=筒体长度24600mm ，塔内真空度为30mmHg ，设计温度为C .150，塔壁材料为Q235—A ，，M P a E

C 5150102.⨯=试问当塔的有效壁厚8e t mm =时：

塔体和封头稳定性是否满足要求？

12 计算题参考答案

计算题2.1

解：对于中面半径为R 的圆柱壳，第一曲率半径∞=1R ，第二曲率半径αtan 2x R =, 代入Laplace 方程，可得周向应力

pR t

θσ= ……① 据区域平衡方程,可得经向应力 2pR t ϕσ=

……② 由①②两式知,圆柱壳体中在外载荷作用下所产生的周向应力和环向应力均与壳体材料力学性能无关。

计算题2.3

解：据R.V.Southwell 提出的短圆筒临界压力简化计算公式：

()()()42

222/11121cr R nL Et t p n R n πμ⎛⎫ ⎪=+- ⎪--⎝⎭

……① 令0cr dp dn

=，并取221n n -≈，可得与最小临界压力相应的波数

n =……②

将②代入①，仍取221n n -≈，得到包含μ

的短圆筒最小临界压力近似计算式 2cr p =

在几何尺寸相同的情况下，三个承受周向外压短圆筒的临界压力分别为

5

252cr p ==钢

5252cr p ==铝

13

5

252cr p ==铜显然，cr cr cr p p p >>钢铜铝。

另外，由于这三种短圆筒所用材料的μ值相差极小（约为3﹪），可近似认为相等。据①式，承受周向外压的短圆筒，其临界压力p cr 与材料的弹性模量E 成正比，故cr cr cr p p p >>钢铜铝。

计算题

2.4

解：承受周向压力时，内径为1000mm ，厚度为10mm

圆筒的临界长度

1.17 1.17100011700cr L mm ==⨯=

由于20cr L L m <=，所以该外压圆筒为长圆筒，其临界压力

33

5102.2 2.22100.441000cr t p E MPa D ⎛⎫

⎛⎫

==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……①

此时，临界应力

0.441000

222210t

cr cr s p p D

MPa t σσσ⨯===

<≈⨯

即，①式是适用的。

该圆筒承受内压时，其爆破压力

2451020

2ln 2452ln 7.774001000s

b s b p K MPa σσ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-

= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

即，对于该圆筒而言，其爆破压力b p 远大于临界压力cr p 。

计算题2.6

解：据Huggenberger 公式，椭球壳短半轴顶点()0x =处应力为

tb pa 22

===σσσθϕ 对于标准椭圆形封头，a/b ＝2，即，b ＝500/2＝250mm ，故

)(150050*********MPa a tb p =⨯⨯

⨯==σ

14 即，压力表A （指示数为1MPa ）正常，压力表B （指示数为2MPa ）已失灵。

计算题2.7

如下图所示

答：因为球形载荷对称分布，ϕθσσ= 必与轴向内力D ϕπδσ相等。对于薄壳体，可近似认为内直径i D 等与壳体的中面直径D 。

=D ϕπδσ

由此得

由强度理论知 <=φ[]t σ

由上式可得

计算题2.8

解：锥壳上任意一点M 处所承受的内压力为

15 )cos cot (ααρx R H g p p c -++=

在M 点以下的壳体上，由于内压力P 作用而产生的总轴向力为

⎰=m

r prdr V 02π 代入αsin x r =和dx dr αsin =，得

202sin [(cot cos )]x

c V p g H R x xdx παραα=++-⎰ ={}

2232sin [(cot )]/2cos /3c p g H R x g x παραρα++- 代入区域平衡方程 '2sin cos V V xt ϕπσαα== 即

{}2232sin [(cot )]/2cos /3c p g H R x g x παραρα++- 2sin cos xt ϕπσαα= 据此可得

tan 6t

ϕασ= {}23[(cot )]2cos c p g H R x g x ραρα++- 据极值条件,易知：在03[(cot )]4cos c p g H R x x g ραρα

++==处，经向应力ϕσ有最大值 2max 3tan [(cot )]()16cos c p g H R gt ϕαρασρα

++= 若0/sin x R α>,则在/sin x R α=处ϕσ有最大值

()()max cot /32cos c R p g H R t ϕσραα

=

++⎡⎤⎣⎦ 又,对于圆锥壳, 第一曲率半径∞=1R ，第二曲率半径αtan 2x R =。据Laplace 公式，有

[]2tan (cot cos )c pR x p g H R x t t

θασραα==++- 据极值条件,易知：在()0cot 2cos c p g H R x x g ραρα

++==处，周向应力θσ有最大值 ()()2

max tan cot 4cos c p g H R gt θαρασρα++⎡⎤⎣⎦=

16 若0/sin x R α>,则在/sin x R α=处θσ有最大值

()()max

cos c R p gH t θρσα

+=

方法二: 如图沿M 点所在水平面切开,锥顶到M 点所在水平面的距离为z ,以M 点以下錐体为研究对象。对于圆锥壳，第一曲率半径∞=1R ，第二曲率半径2tan cos z R αα

=

。M 点所在截面处的压力 (cot )c p p g H R z ρα=++-

据Laplace 公式，有

[]2tan (cot )cos c pR z p g H R z t t θασραα

==++- 据极值条件,易知：当0(cot )/2c p z z H R g

αρ==++时，周向应力θσ有最大值 ()2

tan cot 4cos c p g H R gt θαρασρα++⎡⎤⎣⎦

=

若0cot z R α>，则在cot z R α=处θσ出现最大值

()()max cos c R p gH t θρσα

+= 又，所切出的錐体中余留液体之质量

2/3G r z g πρ=

代入区域平衡方程

()22cos cot c rt r p g H R z G ϕπσαπρα=++-+⎡⎤⎣⎦

()cot 2/32cos c r p g H R z t ϕσραα

=

++-⎡⎤⎣⎦ ()tan cot 2/32cos c z p g H R z t αραα=++-⎡⎤⎣⎦ 据极值条件,易知：在[]

03/(cot )4c p g H R z z ρα++==处，经向应力ϕσ有最大值