用十字相乘法解方程

用十字相乘法解一元二次方程

我们知道 x 2 x 3 x2 5x 6，反过来，就得到二次三项式x2 5x 6的因式分解形式，即x2 5x 6 x 2 x 3 ，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法， x a x b x2 a b x ab，反过来，就得到

这就是说，对于二次三项式x2 px q，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即 x2 px q x2 a b x ab x a x b 。运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。

把x2 px q分解因式时：

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系

由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2 bx c进行因式分解。 我们知道，

a1x c1 a2x c2

a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2

a1a2x2 a1c2 a2c1 x c1c2

反过来，就得到

a1a2x2 a1c2 a2c1 x c1c2

a1x c1 a2x c2

我们发现，二次项的系数a分解成a1a2，常数项c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1 c1

a22

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它们正好等于ax2 bx c

的一次项系数b，那么ax2 bx c就可以分解成

a1x c1 a2x c2 ，其中a1，c1位于上图的上一行，a2，c2位于下一行。

像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。

一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。

例1 （1）x2 3x 2=0 （1） x2 4x 21=0

1、解方程

(1) 2x2 7x 3=0 (2) 6x2 7x 5=0

(3) 2x2 5x 3 0 (4)2x2 15x 7=0

(5) 3a2 8a 4=0 (6) 5x2 7x 6=0

(7) 6y2 11y 10=0 (8) x2 25x 5 0

(9) 2x2 5x 2 0 (10) x2 5x 6 0

(11) x2 8x 16 0 (12) 6x2 x 2 0

(13) x2 (1 3)x 3 0