习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表：

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表：

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

sinxsiny,

F（x，y）=

0,

0 x

π2,0 y

π2

其他.

求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x

πππ

, y 内的概率. 463

【解】如图P{0 X

πππ

, Y 公式(3.2) 463

ππππππF(, F(,) F(0,) F(0,) 434636

sinπππ4

sin

3

sin

4

sin

π6

sin0 sin

π3

sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae (3x 4y)f（x，y）=

,

x 0,y 0,

0,

其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1） 由

f(x,y)dxdy

Ae

-(3x 4y)

dxdy

A12

1

得 A=12

（2） 由定义，有

F(x,y)

yx

fu(v,u)dv d

yy12e (

3u v4

0 0

d)

udv

(1 e 3x)(1 e 4y )

y 0,x 0,

0,

0,其他

(3) P{0 X 1,0 Y 2}

P{0 X 1,0 Y 2}

12 4y)

12e

(3xdxdy (1 e 3)(1 e 8

) 0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

k(6 x y),0 x 2,2 y 4,

0,

其他.

（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}；

（3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

f(x,y)dxdy

242

k(6 x y)dydx 8k 1,

故 R

18



（2） P{X 1,Y 3}

(3) P{X 1.5}

1

320

13

f(x,y)dydx

38

18

k(6 x y)dydx

x 1.5

f(x,y)dxdy如图a f(x,y)dxdy

D1

1.5

dx

412

8

(6 x y)dy

2732

D2

.

(4) P{X Y 4}

X Y 4

f(x,y)dxdy如图b f(x,y)dxdy

4 x2

20

dx

18

(6 x y)dy

23

.

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

5e 5y,y 0,

fY（y）=

其他. 0,

求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X

}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

1,

fX(x) 0.2

0,

0 x 0.2,其他.

而

5e 5y,

fY(y)

0,

y 0,其他.

所以

f(x,y)XY,独立fXx( f)Y

y( )

1 0.2 5e 5y

25e 5y,0 x 0.2且y 0,

0,

0,其他.

(2) P(Y X)

f(x,y)dxdy如图 25e

5y

dxdy

y x

D

0.20

dx x

-5y

25e

dy

0.2 0

( 5e

x5

5)dx

=e

-1

0.3679.

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

(1 e 4x)(1 e 2yF（x，y）=

),

x 0,y 0,

0,

其他.

求（X，Y）的联合分布密度. 2

【解】f(x,y)

F(x,y) 8e (4x 2y) x y

,x 0,y 0, 0,

其他.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）= 4.8y(2 x),

0 x 1,0 y x,

0,

其他.

求边缘概率密度. 【解】f X(x)

f(x,y)dy

x =

0

4.8y( 2xy) d 2.4x2

( 2x), 0x ,

0,

0,

其他.

1 fY(y)

f(x,y)d x

1 =

4.8y( 2xx)2

y

d 2.4y( 3y4 y), y0 0,

0,

其他.

1,

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

e yf（x，y）=,

0 x y,

0,

其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)

(

fx,y)dy

= xe ydy

e x

,x 0,

0,

0,其他.

fY(y)

f(x,y)dx

y =

0e ydx

ye x,

y 0,

0,

0,其他

.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

cx2y,

x2

y 1,

0,

其他.

（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

,

f(xy)dxdy如图 f(x,y)dxdy

D

= 1

dx 1

cx2

ydy

4-1

x

2

21

c 1.

得c

214

.

(2) fX(x)

f(x,y)dy

1 212 21x24xydy

8

x2(1 x4

), 1 x 1,

0, 0,

其他.

fY(y)

f(x,y)dx

2

dx 75

xy 2y2,

0 y 1,

0,

0, 其他.

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

1,

y x,0 x 1,

0,

其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）

.

题11图

【解】fX(x)

f(x,y)dy

x x1dy 2x,0 x

1 0,

其他. 1 y1dx 1 y,

1 y 0,f Y(y)

f(x,y)dx 1

0 y 1, y1dx 1 y,

0,其他.

所以

f(y|x) f(x,y)

1,|y |x 1,

Y|X

f(x) 2x

X

0,

其他.

1

x 1, 1 y, y

f(x,y) 1

, y x 1, fX|Y(x|y)

fY(y) 1 y

0,其他.

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大

的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表

610

110

6100

110

(2) 因P{X 1} P{Y 3} 故X与Y不独立

（2） X与Y是否相互独立？

P{X 1,Y 3},

【解】（1）X和Y的边缘分布如下表

(2) 因P{X 2} P{Y 0.4} 0.2 0.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4), 故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1 y/2 e,

fY（y）= 2

0,

y 0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度； 2

（2） 设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

1, 0,

y

1 2

0 x 1, e,y 1,

fY(y) 2

其他; 0,其他.

【解】（1） 因fX(x)

1 y/2

e

故f(x,y)X,Y独立fX(x) fY(y) 2

0,

0 x 1,y 0,其他

.

题14图

(2) 方程a2 2Xa Y 0有实根的条件是

(2X) 4Y 0

2

故 X≥Y， 从而方程有实根的概率为：

P{X

2

2

Y}

x y

2

f(x,y)dxdy

10

dx

x0

2

12

e

y/2

dy

1 (1) (0)]

0.1445.

15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

1000

,

f（x）= x2

0,

x 1000,其他.

求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FXZ(z) P{Z z} P{

Y z}

(1) 当z≤0时，FZ(z) 0

（2） 当0<z<1时，（这时当x=1000时,y=

1000z）(如图a)

6F

10

6yz

Z(z)

x2

dy

103

dy3

10

y

y

2

dxxz

10

x2

y

2

dxz

=

103

103 106 dy z

z

y

2zy3 2

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103

时，x=103

z）（如图b）

F10

6Z(z)

x2

y

2

dxdy

10

3

dy

zy

10

610

3

y

xx2

y

2

dx

z

=

10

3

103 106 dy 1 1 y

2zy3 2z 1 1,z 1, 2z即 f z

Z(z) ,

0 z 1

,

2 0,

其他. 1 2z2,z 1, 故 f 1

Z(z) 2,

0 z 1 , 0,其他.

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180的概率.

只，

【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，20），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4) 180}Xi之间独立P{X1 180} P{X2 180}

2

P{X3 180} P{X4 180} [1 P{X1 180 }] [P1X{ 2

1 80 }P][X13

4

{

1 8P0}4X][1

{180}]

180 160 4

[1 P{X1 180}] 1 20

[1 (1)] (0.158) 0.00063.

4

4

17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，

P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

i

P{Z=i}= p(k)q(i k)，i=0，1，2，….

k 0

【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以 {Z i} {X Y i} {X 0,Y i }

于是

i

i

{X 1Y, i 1 } X{ iY,

P{Z i}

k 0i

P{X k,Y i}k相,X互Y独立

P{X

k 0

k} P{Y i }k

k 0

p(k)q( i )k

18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.

【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

k

P{X Y k}

P{X

i 0

i,Y k i}

k

P(

i 0k

X i) P{Y

n

k}i

k

i n

k

i

i 0k

n i pq i n i p k i

n

k

q

i 0

n n k2

pq i k i

n

k

2n k2

pq

k

方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,

X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.

（2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X 2|Y 2}

P{X 2,Y 2}

P{Y 2}P{X 2,Y

5

2}

P{X

i 0

i,Y 2}

0.051

, 0.252

P{Y 3|X 0}

P{Y 3,X 0}P{X 0}

P{X 0,Y

3

3}

P{X

j 0

0,Y j}

0.011

; 0.033

（2）P{V i} P{max(X,Y) i} P{X i,Y i} P{X i,Y i}

i 1

i

P{X

k 0

i,Y k}

P{X

k 0

k,Y i}, i 0,1,2,3, 4

所以V的分布律为

(3) P{U i} P{min(X,Y) i}

P{X i,Y i} P{X i,Y i}

35

k i

P{X i,Y k}

k i 1

P{X k,Y i}

i 0,1,2, 3

于是

20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；

（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

1

,

f(x,y) πR2

0,

x y R,其他.

2

2

2

（1）P{Y 0|Y X}

P{Y 0,Y X}P{Y X}

y 0y x

f(x,y) d

y x

f(x,y) d

π

π/454π

d d

R0R0

11πR

2

rdr

rdr

π/4

2

3/8

1/23; 4

(2) P{M 0} P{max(X,Y) 0} 1 P{max(X,Y) 0}

1 P{X 0,Y 0} 1

x 0y 0

f(x,y)d 1

2

14

34

.

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量（X，Y）

在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

【解】区域D的面积为 S0

e

2

1x

1

dx lnx

e1

2

2.（X,Y）的联合密度函数为

1 ,

f(x,y) 2

0,

1 x e,0 y 其他.

2

1

x

,

（X，Y）关于X的边缘密度函数为

1 1/x1

dy , fX(x) 022x

0,

1 x e,其他.

2

所以fX(2)

14

.

22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和

2

【解】因P{Y yj} Pj

P{X

i 1

xi,Y yj},

故P{Y y1} P{X x1,Y y1} P{X x2,Y y1}, 从而P{X x1,Y y1}

16 18 124.

而X与Y独立，故P{X xi} P{Y yj} P{X xi,Y yi}, 从而P{X x1} 即：P{X x1}

16

P{X x1,Y y1} 124

/16 14.

124.

又P{X x1} P{X x1,Y y1} P{X x1,Y y2} P{X x1,Y y3}, 即

14 124

18

P{X x1,Y y3},

112.

38

从而P{X x1,Y y3} 同理P{Y y2}

3

12

, P{X x2,Y y2}

16

12

13

又 P{Y yj} 1,故P{Y y3} 1

j 1

.

同理P{X x2} 从而

34

.

P{X x2,Y y3} P{Y y3} P{X x1,Y y3}

13

112

14

.

故

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p（0<p<1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发

车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.

mmn m

【解】(1) P{Y m|X n} Cnp(1 p),0 m n,n 0,1,2, .

(2) P{X n,Y m} P{X n} P{Y m|X n}

e

(1 p)

n!

n

m

Cp

m

n

mn

n, m n,n 0, 1, 2,.

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~

1 0.32

，而Y的概率密度为f(y)， 0.7

求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u) P{X Y u} 0.3P{X Y u|X 1} 0.7P{X Y u|X 2}

0.3PY{ u 1|X 1 }

由于X和Y独立，可见

0P.7Y {u

2X|

G(u) 0.3P{Y u 1} 0.7P{Y u 2}

0.3Fu( 1 )

由此，得U的概率密度为

0F.7u (

g(u) G (u) 0.3F (u 1) 0.7F (u 2)

0.3fu( 1 )0f.7u (

25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

1 1, 0 x 3,y 3, , 0

f(y) 3 f(x) 3

0, x 0,x 3; 0, y 0,y 3.

因为X，Y相互独立，所以

1

, 0 x 3,0 y 3,

f(x,y) 9

0, x 0,y 0,x 3,y 3.

{Y, } . 推得 P{maxX

91

26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

其中a,（1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.

由E(X) 0.2，可得

a c 0.1.

P{X 0,Y 0}a b 0.1

再由 P{Y 0X 0} 0, .5

P{X 0}a b 0.5

得 a b 0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a 0.2,b 0.1,c 0.1.

(2) Z的可能取值为 2， 1，0，1，2，

P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.2，

P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.1，

P{Z 0} P{X 1,Y 1} P{X 0,Y 0} P{X 1,Y 1} 0.3，

P{Z 1} P{X 1,Y 0} P{X 0,Y 1} 0.3，

P{Z 2} P{X 1,Y 1} 0.1，

即Z的概率分布为

(3) P{X Z} P{Y 0} 0.1 b 0.2 0.1 0.1 0.2 0.4.

习题四

1.设随机变量X的分布律为

求【解】(1) E(X) ( 1)

18

2

1111522222

(2) E(X) ( 1) 0 1 2 ;

82844

0

12 1

18 2

14 1;

(3) E(2X 3) 2E(X) 3 2

12

3 4

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为