概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表：

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表：

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

sinxsiny,

F（x，y）=

0,

0 x

π2,0 y

π2

其他.

求二维随机变量（X，Y）在长方形域 0 x

πππ

, y 内的概率. 463

【解】如图P{0 X

πππ

, Y 公式(3.2) 463

ππππππF(, F(,) F(0,) F(0,) 434636

sinπππ4

sin

3

sin

4

sin

π6

sin0 sin

π3

sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae (3x 4y)f（x，y）=

,

x 0,y 0,

0,

其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数；

（3） P{0≤X<1，0≤Y<2}.

【解】（1） 由

f(x,y)dxdy

Ae

-(3x 4y)

dxdy

A12

1

得 A=12

（2） 由定义，有

F(x,y)

yx

fu(v,u)dv d

yy12e (

3u v4

0 0

d)

udv

(1 e 3x)(1 e 4y )

y 0,x 0,

0,

0,其他

(3) P{0 X 1,0 Y 2}

P{0 X 1,0 Y 2}

12 4y)

12e

(3xdxdy (1 e 3)(1 e 8

) 0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

k(6 x y),0 x 2,2 y 4,

0,

其他.

（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}；

（3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

f(x,y)dxdy

242

k(6 x y)dydx 8k 1,

故 R

18



（2） P{X 1,Y 3}

(3) P{X 1.5}

1

320

13

f(x,y)dydx

38

18

k(6 x y)dydx

x 1.5

f(x,y)dxdy如图a f(x,y)dxdy

D1

1.5

dx

412

8

(6 x y)dy

2732

D2

.

(4) P{X Y 4}

X Y 4

f(x,y)dxdy如图b f(x,y)dxdy

4 x2

20

dx

18

(6 x y)dy

23

.

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

5e 5y,y 0,

fY（y）=

其他. 0,

求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X

}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

1,

fX(x) 0.2

0,

0 x 0.2,其他.

而

5e 5y,

fY(y)

0,

y 0,其他.

所以

f(x,y)XY,独立fXx( f)Y

y( )

1 0.2 5e 5y

25e 5y,0 x 0.2且y 0,

0,

0,其他.

(2) P(Y X)

f(x,y)dxdy如图 25e

5y

dxdy

y x

D

0.20

dx x

-5y

25e

dy

0.2 0

( 5e

x5

5)dx

=e

-1

0.3679.

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

(1 e 4x)(1 e 2yF（x，y）=

),

x 0,y 0,

0,

其他.

求（X，Y）的联合分布密度. 2

【解】f(x,y)

F(x,y) 8e (4x 2y) x y

,x 0,y 0, 0,

其他.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）= 4.8y(2 x),

0 x 1,0 y x,

0,

其他.

求边缘概率密度. 【解】f X(x)

f(x,y)dy

x =

0

4.8y( 2xy) d 2.4x2

( 2x), 0x ,

0,

0,

其他.

1 fY(y)

f(x,y)d x

1 =

4.8y( 2xx)2

y

d 2.4y( 3y4 y), y0 0,

0,

其他.

1,

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

e yf（x，y）=,

0 x y,

0,

其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)

(

fx,y)dy

= xe ydy

e x

,x 0,

0,

0,其他.

fY(y)

f(x,y)dx

y =

0e ydx

ye x,

y 0,

0,

0,其他

.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

cx2y,

x2

y 1,

0,

其他.

（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

,

f(xy)dxdy如图 f(x,y)dxdy

D

= 1

dx 1

cx2

ydy

4-1

x

2

21

c 1.

得c

214

.

(2) fX(x)

f(x,y)dy

1 212 21x24xydy

8

x2(1 x4

), 1 x 1,

0, 0,

其他.

fY(y)

f(x,y)dx

2

dx 75

xy 2y2,

0 y 1,

0,

0, 其他.

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

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