关于椭圆周长的一个完美的计算公式

关于椭圆周长的一个完美的计算公式S e mj o n Ad l a j第1类和第 2类完全椭圆积分的值可以通过 (具有相应的自变量的)超几何函数的幂级数来表示.人们还知道第 1类完全椭圆积分也可以用算术一几何平均的手段完美地表达，然而 (此刻之前)这样一种 (极为有力而又简洁的)表达却不适用于第 2类完全椭圆积分 .从本文可以看出，对于这样一个简洁公式的探求终结了，此公式能够导致一种精确的快速收敛迭代方法用以计算椭圆的周长 .

1 .代序最近对于计算椭圆周长的 (近似的和精确的)公式的一个回顾[ 1 6]错误地概述为：没有简单精确的公式：有简单的公式但不精确，有精确的公式但不简单. 不再需要新的突破来驳斥这一点，因为绝大部分 (即使不是全部！ )都已经被 G a u s s

(高斯)在很久以前做完了，只要等待做一些 (最后的)阐明就可以了.

2 .算术一几何平均和它的一个修正引入序列对{, ) O 0: 0:xn +y￣, Xn+l : ———一 ::,一

Y n+l: x/— X n— Y n.

_

定义两个正数和 Y的算术一几何平均 (我们将它简记为 A G M)是 (下降)序列{} 和 (上升)序列{ ) 1的(共同)极限，其中 X 0=X, Y 0= . ) 我们说上述的两个序列的收敛是二次的【 7, p . 5 8 8] .的确，可以很容易地推出这一点(以及更多) .为此，令r n:=n

,十‰

n∈ N,

注意到r+:

(糕,

) 2= ( ;+

) 2: (三二 匠 r n/、 l 2≈譬，, “:一 .

其中的近似等号≈在这里可以理解为渐近 (由于 r趋于零 )相等 .

接着，引入一个三元组序列{ z , Y , Z n ) o o: o:x n+ y nXn+1::下

Y n+l:=

定义两个正数和 Y的修正的算术一几何平均 (我们将它简记为 M A G M)是 (下降)序

列{ ) l和(上升)序列{ ) o o: 1的(共同)极限，其中 X 0=。, Y 0=Y和 Z 0=0 .译自： N o t i c e s o f t h e A MS, V o 1 . 5 9( 2 0 1 2 ), N o . 8, P . 1 0 9 4 - 1 0 9 9, A n

E l o q u e n t F o r m u l a f o r t h eP e r i me t e r o f a n E l l i p s e,S e mj o n Ad l a j,f i g u r e n u mb e r 3 .C o p y r i g h t⑥ 2 0 1 2 t h e A me r i c a n

Ma t h e ma t i c a l S o c i e t y .R e p r i n t e d wi t h p e r mi s s i o n .Al l r i g h t s r e s e r v e d .美国数学会与作者授予译文出版许可. S e mj o n Ad l a j是俄罗斯科学院计算中心的数学教授 .他的邮箱地址是 s e mj o n a d l a j@g ma i l . c o n. r 1 )我们不需要假定 0≥暑『 0一3 0 .

原注

令:=忆一 n, ‰:=Y n一 n, P n:=, 扎∈ N.

A G M的每次迭代需要作一次加法，一次除法，一次乘法和一次开方. MA G M的首次迭代和A GM的首次迭代相同 . MA GM后续的每次迭代 (比 AG M的迭代)需要多 3次加法， 但 MAG M每次迭代的收敛速度 (比 AG M相应迭代的收敛速度)要快，其比值渐近地与P相符 .这一点由r n+ =

n+ 1十 n+ 1 十 + 1 (\ 、/ t n十√叩 /喜 4 p n=Xn+l Y n

容易看出.迭代到最后 (就是渐近地 )每次 P都加倍 .

有一个例子， G a u s s在[ 1 2】中曾 (精细地)考虑过，也在[ 7, p . 5 8 7】中被 (草草地)提到，它展示了对于初值 z 7 - - 1和=0 . 8的A G M收敛.我们列出其依次接连的 4次迭代(砍去一些小数值后的)近似值：Xl= 0. 9,

r l≈ 0. 0 0 31 0 5 6 2 0 01 5 1 4 1 8 5 8 5 3 9 4 9 5 8 5 1 3 4 8 . Y 1≈ 0. 8 9 44 2 7 1 9 0 9 9 9 9 1 5 8 7 8 5 6 3 6 6 9 4 6 7 4,

4 r l/ r≈ 1 . 0 0 6 2 2 0 8 8 4 9 0 5 9 6 2 1 6 6 7 9 6 6 5 5 8 3 6 7 8,X2≈ 0. 8 97 2 1 3 5 9 5 4 9 9 9 5 7 9 3 9 2 8 1 8 3 4 7 3 3 7 . r 2≈ 0. 0 0 00 0 2 4 1 1 2 3 0 5 4 7 6 3 5 8 8 0 3 3 5 9 5 6 6

6 9 .Y 2≈ 0. 8 97 2 0 9 2 6 8 7 3 2 7 3 2 3 2 5 1 4 7 1 3 9 3 9 6 4 .

4 r 2/ r≈ 1 . 0 0 0 0 0 4 8 2 2 4 6 6 9 0 9 3 0 4 5 1 4 5 2 4 3 4 0 7 2 8,X 3≈ 0. 8 9 72 1 1 43 2 1 1 6 3 4 5 1 3 2 2 1 4 4 8 7 0 6 5 1 . r 3≈ 0. 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 4 5 3 5 0 8 1 8 8 4 6 7 3 3 2 2 1 9 .Y 3≈ 0. 8 9 72 1 1 43 2 1 1 3 7 3 6 9 2 3 8 8 7 7 5 5 6 3 6 9 .

4 r 3/ r≈ 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 9 0 7 0 1 6 3 7 6 9 3 6 7 7 7 1 2,X 4≈ 0. 8 97 2 1 1 4 3 2 11 5 0 4 1 0 2 8 0 5 1 1 2 1 3 5 1 0 .

r 4≈ 0. 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 2 8 1 7 1 . y 4≈ 0. 8 97 2 1 1 4 3 2 11 5 0 4 1 0 2 8 0 5 1 1 2 0 4 0 3 2 .

4 r 4/ r￣ '≈1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 6 3 4 .当然， MA G M的首次迭代值和它是相同的.现在我们列出 MA G M的第 2,第3和第 4次迭代的近似值：X 2≈ 0. 8 9 7 21 3 5 95 49 9 9 5 7 9 3 92 81 8 3 47 3 37 .

r 2≈ 0. 0 0 0 0 01 2 07 48 6 6 41 9 1 62 23 45 0 6 27 5 4 0. Y 2≈ 0. 8 9 7 21 1 4 2 87 5 5 7 1 1 2 3 0 3 6 6 0 5 6 2 5 2 4.

4 r 2 P 1/ q≈1 . 0 0 0 0 0 1 8 1 2 1 6 9 2 8 5 2 0 6 9 0 7 7 5 8 6 4 3 6 7 4 .X 3≈ 0. 8 9 7 21 2 51 2 1 2 7 8 34 5 8 4 82 3 9 4 5 4 9 3 0.

r 3≈ 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 91 2 6 81 9 41 8 5 5 4 3 3 0 8.Y 3≈ 0. 8 9 7 21 2 51 2 1 2 7 67 0 81 0 8 92 3 8 0 3 4 3 3 5.

4 r 3 P 2/ r￣≈1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 1 2 0 7 2 1 5 0 9 3 7 4 4 4 .X4≈ 0 . 8 9 7 2 1 2 51 2l 2 7 7 5 2 6 9 7 8 5 81 6 2 9 1 8 2 . r 4≈ 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 Y 4≈ 0 . 89 7 2 1 2 5 1 21 2 7 7 5 2 6 9 7 8 5 8 1 6 2 9 1 7 7 .

4 r 4 P 3/ r￣≈1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 9 3 .

以及比值 (它们应该趋于 2 ):Pl≈ 1 . 9 9 6 8 94 3 7 9 9 8 48 5 81 41 4 6 0 5 0 41 4 8 6 5.

P 2/ P l≈2 . 0 0 0 0 0 0 6 0 0 9 2 6 4 5 0 8 8 1 7 0 3 4 6 1 1 2 8 2 2 . m/ p 2≈2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 9 7 8 8 0 6 3 9 9 5 9 4 7 6 . P 4/ P 3≈2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 . 固定>1,令{ z }和{ )是对于 X 0=和 Y o=1的收敛到 A G M的序列，令f )是趋于和 1的 MA GM的下降序列，其中∈ o …… 此处隐藏：12814字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……