第二讲 直线与圆的位置关系 章末复习方案 课件(人教A选修4-1)

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证明点共圆的方法有以下几种： (1)利用到一定点的距离相等的各点在一个圆上； (2)利用同斜边的几个直角三角形的各直角的顶点在一

个圆上；(3)如图，只要具备以下条件之一者，A、B、C、D四 点共圆： ①∠BAC=∠BDC;

②∠BAD+∠BCD=180°;③∠FAD=∠BCD; ④AE· CE=BE· DE; ⑤AF· BF=CF· DF. 返回

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[例1]

已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点

B的圆与AD、BC分别交于E、F, 求证：C、D、E、F四点共圆. [证明] 连接EF,

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因为四边形ABCD为平行四边形，所以∠B+∠C=180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B+∠AEF=180°. 所以∠AEF=∠C. 所以C、D、E、F四点共圆.

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[例2]

已知：如图，四边形ABCD

中，∠1=∠2. 求证：A、B、C、D四点共圆. [证明] 由A、B、D三点可以确定

一个圆，设该圆为⊙O.(1)如果点C在⊙O的外部(如图). 与圆相交于点E, ∵∠1=∠AEB,∠1=∠2, ∴∠2=∠AEB. 而∠AEB>∠2,矛盾， 故点C不可能在圆外. 返回

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(2)如果点C在⊙O的内部(如图).延长BC与圆相交于点E,连接AE. 则∠1=∠AEB,而∠1=∠2, ∴∠2=∠AEB,与∠2>∠AEB矛盾， ∴点C不可能在圆内，

∴点C只能在圆上.

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证明命题的一般步骤： (1)弄清题意，辨明题设和结论；

(2)用分析法探明证题思路和方法；(3)若已知条件不足，可添设适当辅助线以暴露隐含的 已知条件； (4)用综合法有条理地写出证明过程； (5)检查证明过程，看有无矛盾或不合理的地方. 返回

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1.利用相似三角形 [例 3] 在△ABC 中，AB=AC,

过点 A 的直线与其外接圆交于点 P, 交 BC 延长线于点 D. PC PD (1)求证：AC=BD; (2)若 AC=3,求 AP· 的值. AD

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[解]

(1)证明：∵∠CPD=∠ABC,∠D=∠D,

PC PD ∴△DPC∽△DBA,∴ = . AB BD PC PD 又∵AB=AC,∴ = . AC BD (2)∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB. 又∵∠B+∠APC=180° , ∠ACB+∠ACD=180° , ∴∠ACD=∠APC,又∵∠CAP=∠CAP, AP AC ∴△APC∽△ACD,∴ = . AC AD ∴AC2=AP· AD=9.

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2.利用三角形内(外)角平分线的性质

[例4]

⊙O直径垂直于弦CD,E是

⊙O上任一点，延长EC、AB相交于Q, ED交AQ于P(如图), 求证：AQ· PB=AP· BQ.[证明] 连接 EA、EB. ∵AB⊥CD,又 AB 是直径， ∴ CB = BD ,

∴∠QEB=∠PEB,则 EB 平分∠PEQ. ∴EP∶EQ=PB∶BQ. ①

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延长 QE 到 M, ∵AB 是直径， ∴∠AEB=∠AEP+∠PEB=90° . ∴∠MEA+∠QEB=90° . ∵∠QEB=∠PEB,∴∠MEA=∠AEP. 则 EA 是∠PEQ 的外角平分线. ∴EP∶EQ=AP∶AQ. 由①、②得 PB∶BQ=AP∶AQ, 即 AQ· PB=AP· BQ. ②

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3.利用面积关系 [例 5] Rt△ABC 中，O 是斜边 BC 上一点，以 O 为圆

心的半圆与

两直角边相切于 M、 如果两直角边分别为 a、 N, b,半圆的半径为 r. 1 1 1 求证： = + . r a b[证明] 连接 AO、OM、ON. ∵AB、AC 与半圆相切于 M、N, ∴OM⊥AB,ON⊥AC. 又设 AB=a,AC=b, 半圆的半径为 r,

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1 ∴S△ ABC= ab. 2 又 S△ ABC=S△ AOB+S△ AOC 1 1 1 = ar+ br= r(a+b). 2 2 2 1 1 1 ∴ab=r(a+b).则 = + . r a b

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4.利用射影定理 [例6] 如图，AB是⊙O直径，过A作

切线，过B作割线交⊙O于E,交切线于 F,过B再作割线交⊙O于C,交切线于D.

求证：BE· BF=BC· BD.

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