用割补法求几何体的体积

――培养学生的空间想象能力

内容提要：

本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

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割补法 空间想象能力

在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。空间想象能力的提高必定要经过实际的训练，途径也有很多种。本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:

① 几何体的“分割”

几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”

与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积

例题一：已知三棱锥P ABC，其中PA 4,PB PC 2,

APB APC BPC 60 求：三棱锥P ABC的体积。

【思路一】作BC的中点D，连接PD、AD， 过P作PH AD，垂足H

易证PH即为三棱锥P ABC的高， 由棱锥体积公式 VP ABC

P

1

S ABC PH 3

B

即得 三棱锥P ABC的体积。

A【思路二】（利用直截面）作图，证明同方法一，不求PH的长度， 图（1） 易证PD BC,AD BC

∴面PAD是直截面 ∴VP ABC

1

S PAD BC 3

故只要求出BC和直截面PAD的面积即可。

初看上去这道题目没什么特别，过程和思路非常清晰，但是却有很多同学在抱怨此题的难度太大？

原来是PH大小太难求了，这两种解题方法，都不可回避地需要求解 PAD的面积，而偏偏 PAD不是一个规则的三角形， PAD的三边分别是4,,3，面积求解非常麻烦。学生的一般求法就是用余弦定理求出 PAD的余弦，再求正弦，然后利用PA求得PH，这个过程是相当复杂的，需要十分扎实的数学基础和解三角形的基本功。

难道它就没有更好的解法了吗？既然题干给出的条件是如此地强，边长和角度都十分理想，那么一般来说求解过程不会十分烦琐，我们可以这样考虑：延长PB,PC，使BE CF 2,这样PA PE PF 4，又由题设

APB APC BPC 60 ，则 PAE, PAF, PEF都是正三角形，

因此AE AF EF 4，所以三棱锥P AEF是正四面体。 那么就有了

【思路三】 如图（2） 延长PB,PC至E,F，使PE PF 4， 则三棱锥P AEF是正三棱锥， 易证BC是边EF上的中位线 ∴ BC:EF

1 2

1 4

∴ S PBC:S PEF

又 ∵ 三棱锥A PBC与三棱锥A

PEF ∴VA PBC:VA PEF

1 4

∵VA PBC VP ABC

F

1

VA PEF 4

16

2 图（2） 又 ∵ VA PEF 314

2 ∴VP ABC VA PEF

43

∴VP ABC

几乎所有的学生听完我的解法以后都有一种如释重负的感觉，原先对题目的厌恶

情绪一扫而光，“原来还有这样的玄机在里面”几乎是他们每个人的感叹。原先十分纷繁芜杂的计算题，经过巧妙的添加辅助线，补形成一个正四面体，一下子得到了相当大的简化，几乎可以说是天壤之别。

仔细地分析一下，为什么学生没有一个能想到用“增补”的方法来解决这几道立

几题呢？恐怕这是和学生长期做题养成的习惯有关，缺乏对空间几何体的想象能力，特别是难以联想到我们熟悉的几何体。目前的大多数立体几何题都有定势的解法，只要按部就班地去作图，总能够找到“理论上”可行的方法，于是很多学生在考虑问题的时候就跳不出已有的定势思维的窠臼，在原始的图上建立思考体系，尽管很多时候能够顺利解决问题，但是在遇到类似本文提到的题目的时候，缺乏随机应变的灵活性.能够想到增补法，就必须拥有扎实地立体几何基础，包括三棱锥的相关定义和正三棱锥的具体性质，以及棱锥体积公式和等高棱锥的体积关系和平行线分线段成比例定理和线段长度比例与三角形面积关系等等很多知识点。可以这样说，能够想到用增补法解题的学生，肯定是具备相当空间想象能力的。

按照上面的思路，大部分的学生对于锥体，特别是正四面体有了新的认识，更重要的在解出本题的同时，学生的空间想象能力有了很大的提高。很多同学通过此题的解法，能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件、性质的几何图形，思路一

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