用割补法求几何体的体积

――培养学生的空间想象能力

内容提要：

本文用图形割补的方法来求一些不规则的几何体体积，通过求几何体体积的过程，来培养和提高学生对空间图形的想象能力，进而得出培养和提高学生空间想象能力的途径。

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割补法 空间想象能力

在高中立体几何的学习中，学生最大的困难在于缺乏良好的空间想象能力，由于目前我们只能在二维平面上通过空间图形的平面直观图来研究空间元素的位置关系和数量关系，这就造成学生难以摆脱在平面几何学习中培养起来的对平面图形的认知经验，具体表现在遇到立几问题时，不会识图，有些学生甚至看不出空间元素的前后位置关系，也不会合理作图。特别是求几何体体积问题，对于不同的几何体或不规则的几何体，我们可联想熟悉的几何体去计算其体积，这就对学生的空间想象能力有很高的要求。

那么什么是空间想象能力呢？中学数学中的空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力。空间想象能力的提高必定要经过实际的训练，途径也有很多种。本文就借助于求几何体的体积来提高学生的空间想象能力。

由于几何体的形状多种多样，所以体积的求法也各不相同。针对一些不规则的几何体，直接运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈现一定的规律性:

① 几何体的“分割”

几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之。

② 几何体的“补形”

与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。

一、用割补法求锥体的体积

例题一：已知三棱锥P ABC，其中PA 4,PB PC 2,

APB APC BPC 60 求：三棱锥P ABC的体积。

【思路一】作BC的中点D，连接PD、AD， 过P作PH AD，垂足H

易证PH即为三棱锥P ABC的高， 由棱锥体积公式 VP ABC

P

1

S ABC PH 3

B

即得 三棱锥P ABC的体积。

A【思路二】（利用直截面）作图，证明同方法一，不求PH的长度， 图（1） 易证PD BC,AD BC

∴面PAD是直截面 ∴VP ABC

1

S PAD BC 3

故只要求出BC和直截面PAD的面积即可。

初看上去这道题目没什么特别，过程和思路非常清晰，但是却有很多同学在抱怨此题的难度太大？

原来是PH大小太难求了，这两种解题方法，都不可回避地需要求解 PAD的面积，而偏偏 PAD不是一个规则的三角形， PAD的三边分别是4,,3，面积求解非常麻烦。学生的一般求法就是用余弦定理求出 PAD的余弦，再求正弦，然后利用PA求得PH，这个过程是相当复杂的，需要十分扎实的数学基础和解三角形的基本功。

难道它就没有更好的解法了吗？既然题干给出的条件是如此地强，边长和角度都十分理想，那么一般来说求解过程不会十分烦琐，我们可以这样考虑：延长PB,PC，使BE CF 2,这样PA PE PF 4，又由题设

APB APC BPC 60 ，则 PAE, PAF, PEF都是正三角形，

因此AE AF EF 4，所以三棱锥P AEF是正四面体。 那么就有了

【思路三】 如图（2） 延长PB,PC至E,F，使PE PF 4， 则三棱锥P AEF是正三棱锥， 易证BC是边EF上的中位线 ∴ BC:EF

1 2

1 4

∴ S PBC:S PEF

又 ∵ 三棱锥A PBC与三棱锥A

PEF ∴VA PBC:VA PEF

1 4

∵VA PBC VP ABC

F

1

VA PEF 4

16

2 图（2） 又 ∵ VA PEF 314

2 ∴VP ABC VA PEF

43

∴VP ABC

几乎所有的学生听完我的解法以后都有一种如释重负的感觉，原先对题目的厌恶

情绪一扫而光，“原来还有这样的玄机在里面”几乎是他们每个人的感叹。原先十分纷繁芜杂的计算题，经过巧妙的添加辅助线，补形成一个正四面体，一下子得到了相当大的简化，几乎可以说是天壤之别。

仔细地分析一下，为什么学生没有一个能想到用“增补”的方法来解决这几道立

几题呢？恐怕这是和学生长期做题养成的习惯有关，缺乏对空间几何体的想象能力，特别是难以联想到我们熟悉的几何体。目前的大多数立体几何题都有定势的解法，只要按部就班地去作图，总能够找到“理论上”可行的方法，于是很多学生在考虑问题的时候就跳不出已有的定势思维的窠臼，在原始的图上建立思考体系，尽管很多时候能够顺利解决问题，但是在遇到类似本文提到的题目的时候，缺乏随机应变的灵活性.能够想到增补法，就必须拥有扎实地立体几何基础，包括三棱锥的相关定义和正三棱锥的具体性质，以及棱锥体积公式和等高棱锥的体积关系和平行线分线段成比例定理和线段长度比例与三角形面积关系等等很多知识点。可以这样说，能够想到用增补法解题的学生，肯定是具备相当空间想象能力的。

按照上面的思路，大部分的学生对于锥体，特别是正四面体有了新的认识，更重要的在解出本题的同时，学生的空间想象能力有了很大的提高。很多同学通过此题的解法，能根据几何图形性质通过思考创造出合乎一定条件、性质的几何图形，思路一

下子拓展了。

二、用割补法求柱体（柱体的一部分）体积

例题二：如图（3），

已知AB 4,BC 3,AE 5,BF 8,CG 12， 求几何体ABCD EFGH的体积。

C

图（3）

分析：学生普遍感到此题难以找到突破口，平面EFGH是倾斜的，即使过点作底面的平行平面，把几何体分割成上下两部分，下面是长方体，体积易求，而上面还是不规则的几何体，体积仍然很难求得。当时我就提示学生，既然分割成两部分这条路不行，还有其他的路吗？马上有同学提出补形。我趁这时机说道，“很好。现在请同学们把题目再读一遍。”接着马上有同学脱口而出：“补成长方体。”但是问题马上又出现了，可以补成无数个长方体。我又补充到：“补形而成的长方体与所求几何体应当具有怎样的关系最佳？”于是，简洁的解法就出现了：

首先通过梯形ACGE,BFHD的中位线重合，我们可以求得DH 9, 分别延长AE,BF,CG,DH到A',B'C',D',使得AA' BB' CC' DD' 17, 则我们可得EA' 12,FB' 9,GC' 5,HD' 8

故长方体ABCD A'B'C'D'的体积是几何体ABCD EFGH的二倍。

故VABCD EFGH

A

11

VABCD A'B'C'D' 3 4 17 102 22

波里亚说得好：“教师在课堂上讲什么当然重要。然学生想什么更是千百倍的重要，思想应该在学生脑海中产生出来，而教师仅仅应起一个助产婆的作用。”教育心理学理论认为：思维是人脑对事物本质和事物之间规律性关系概括的间接的反映。思维是认知的核心成分，思维的发展水平决定着整个知识系统的结构和功能。针对这种现象，我又设计了如下的题目让学生自己领悟割补法在求体积问题中的重要性。

三、割补法求体积有效地联系起了锥体和柱体

例题三：如图（4），四面体S ABC的三组对棱分别相等，且依次为25,,5， 求四面体S ABC的体积。

F

C

B

B

D

图（4） 图（5）

思路：如上图（5），把四面体S ABC补形成一个长方体ADBE FSGC， 三度分别是2,3,4则

VS ABC VADBE FSGC 4VA FSC 2 3 4 4

11

2 3 4 8 32

例题四：如图（6），已知正方体ABCD A'B'C'D'的棱长为a，E,F分别是棱AA'和CC'的中点，求四棱锥A' EBFD'的体积。

分析：本题要想直接求出四棱锥的高还是比较困难的。但是四棱锥的底面是菱形，所以连结对角线把四棱锥分割成体积相等的两个三棱锥。故只要求出其中一个三棱锥的体积即可。由图（7）可知，

F

F

C

C

图（6） 图（7）

VA' BED' VD' A'BE VA' EBFD' 2VA' BED'

111a1 S A'BE A'D' a a a3332212 1 a3

6

此题与前几个例题都是用割补法，但不同的是这题是把已知的几何体分割成两个我们比较熟悉的几何体，“切生为熟” ，即培养学生从较复杂的图形中区分出基本图形，并能分析其中基本图形与基本元素之间的相互关系的能力；前三个例子都是补形成一个熟悉的几何体，而且这些几何体的体积都是容易求得的。这样原几何体的体积就容易求得了。 上述几个例题都以观察、分析、认识图形性质的能力和画图能力为基础的，使学生能够不断地从日常学习生活中获得并掌握各种空间知觉和空间表象，同时也在不断地积累着各种表示空关系的词语，这一切使得他们的空间要领不断的完善和丰富起来。使学生对于一些空间不规则的几何体的认识也达到了一个新的程度。

四、空间想象能力培养的途径

由上可知，数学中的空间想象能力的培养有以下的途径：

一、要有丰富的空间形式的知识，即对几何中直线、平面、空间的基本几何图形的形状、性质、关系非常熟悉，并能正确使用语言和式子加以表达.

二、从不同角度、位置来观察同一几何图形，积累空间感的表象，对图形进行变式处理（即对图形割补），并注意与推理运算相结合.这样就可逐步形成对空间形式的观察、分析、抽象的能力，从而具有一定的数学空间想象能力。

【参考文献】

傅荣强主编 ≤多面体和旋转体≥ 龙门书局出版 2001年2月 冯 寅 ≤解决体积问题的三种策略≥ 数理化学习高中版 2004年第5期 张亚东 ≤几何体的体积≥ 中学数学教学参考 2001年第6期

此文获 2004年嘉兴市三等奖