常微分方程试题库试卷库-常微分方程试卷

常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)

一、 填空题（30%）

1、方程

(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件

是（ ）。有只含y 的积分因子的充要条件是______________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。

３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。

４、若1

2(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线

性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是

'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（６０％）

1、

3

()0ydx x y dy -+=

２、sin cos2x x t

t ''+=-

３、若

2114A ⎡⎤

=⎢⎥

-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt

４、32()480

dy dy

xy y dx dx -+=

５、求方程2

dy

x y dx =+经过（0，0）的第三次近似解

6.求1,5

dx dy

x y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳

定性.

三、证明题（１０％）

１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

试卷答案

一填空题

１、()M N

y x

x N ϕ∂∂-∂∂=

()

M N

y x

y M ϕ∂∂-∂∂=- ２

、

2()()()dy

p x y Q x y R x dx =++

y y z =+

３

、

()()n dy

p x y Q x y dx =+

(1)()(,)n p x dx

n u x y y e --⎰=

４、

12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠ ５、

1

1110

n n n

n n n

n d y d dy

x a a a y dx dx dx ---++++=

常微分方程试题库试卷库

６、()()t t C

ψφ=

７、零 稳定中心 二计算题

１、解：因为

1,1M N

y x

∂∂==-∂∂，所以此方程不是恰当方程，方程有积

分因子

2

2

ln 21()dy

y y y e

e

y

μ--⎰===，两边同乘

2

1y 得

3

20dx x y dy y y +-=

所以解为 32

1

x x y y dx dy c y y y

⎡

⎤∂⎢⎥-++-=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰

2

2x y c y +=即

2

2()x y y c =+另外y=0也是解 ２、线性方程0x x ''+=的特征方程

2

10λ+=故特征根i λ=± 1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特

解

(cos sin )

x t A t B t =+代入原方程A=-

1

2

B=0

2()cos2f t t

=-

2i

λ=不是特征根，原方程有特解

cos2sin2x A t B t =+代入原方程

1

3A =

B=0 所以原方程的解为1211

cos sin cos cos223x c t c t t t t

=+-+

３、解：

221()690

14

p λλλλλ--==-+=-解得

1,23λ=此时

k=11

2n =

12v

ηηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

111123322120()()(3)()!i t i t i t t t e A E e t i ηηηηϕηηηη=⎡⎤+-+⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ 由公式expAt= 10()!i

n t i

i t

e A E i λλ-=-∑得

[]33310111exp (3)01111t

t

t t t At e E t A E e t e t t ⎧-⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+-=+=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭

常微分方程试题库试卷库

４、解：方程可化为3

2

84dy y dx x dy y

dx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=令dy p dx =则有

3284p y x yp +=（*）

（*）两边对y 求导：322322(4)

(8)4dp

y p y p y p y p dy -+-=

即32(4)(2)0dp p y y p dy --=由20dp y p dy -=得1

2p cy =即

2

()

p y c =将y 代入（*）

2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：22224()c p x c p y c ⎧=+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩p 为参数

又由3240p y -=得123

(4)p y =代入（*）得：

3

427y x =也是方程的解 ５

、

解

：

002

100225

200410725118

3000

2()4220()4400202204400160x

x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ϕϕϕϕ===+=

=++=+

=++++=+++

⎰⎰⎰ ６、解：由1050x y x y --+=⎧⎨

--=⎩

解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则

dx

x y dt dy x y dt ⎧=--⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩

因为

11

1

1---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）

由

221

1

2112201

1

λλλλλλ+=+++=++=-+得

1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

三、 证明题

由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：

常微分方程试题库试卷库

10200''10200111

10200()1,()0,

,()0()0,()1,

,()0

()0,()0,

,()1n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---========

=

考虑

102001

0010[(),(),

,()]10

1n w x t x t x t =

=≠

从而()(1,2,)i

x t i n =是线性无关的。

常微分方程期终试卷(2)

一、填空题 30%

1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分

别为x.y 的连续函数。 2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n

，可化为线性方程。是常数。引入变量变换-------≠1.0 3、 如果存在常数使得不等式,0 L __________ …… 此处隐藏：12778字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……