D应表为：－x y x2，0 x 1．故

I dx f(x,y)dy．

1

x2

x

图7a

2

图7b例5 计算二重积分

y

edxdy，其中D是由直线y = x, y = 1与y轴围成的闭区域． D

解 积分区域D如图示7．我们选取先x后y的积分次序．将D表示为：

D：0 x y，0 y 1． 故有

y

e

D

y2

dxdy dy e

1y

y2

dx e yx0dy

21

e y

2

1

2

ye

1

y

2

dy

1

10

图8

1

(1 e 1). 2

2

注意：若先对y积分后对x积分，

y y y

，由于函数e对变量y的edxdy dxedy D

x

22

原函数不能表为初等函数，，第一步的积分将无法计算．

小结：

1．X—型区域：设区域D： 1(x) y 2(x),

a x b．则

b

f(x,y)d [

D

a

b

2(x)

1(x)

f(x,y)dy]dx dx

a

2(x)

1(x)

f(x,y)dy．

2．Y—型区域：设区域D：ψ1(y) x ψ2(y), c y d．则有

D

f(x,y)d c[

d

2(y)

1(y)

f(x,y)dx]dy dy f(x,y)dx．

c (y)

1

d

2(y)

3．如果区域D不属于上述两种类型，可将区域D划分成若干个小区域，使每个小区域

属于以上某一类．在每个小区域上单独算出相应的二重积分再相加即可．

4．计算二重积分的主要步骤如下：