抽象函数图象的对称问题

□安徽 王平定 姚汉兵

关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设y f(x)是定义在R上的函数，若f(a x) f(b x)，则函数y f(x)的图象关于直线x

a b对称。 2a b

2证明：设点A（m，n）是y f(x)图象上任一点，即f(m) n，点A关于直线x

的对称点为A'a b m，n。

∵f(a b m) f b (b m) f(m) n ∴点A'也在y f(x)的图象上，故y f(x)的图象关于直线x a b对称。 2

二、设y f(x)是定义在R上的函数，则函数y f(a x)与函数y f(b x)的图象关于直线x

b a对称。 2证明：设点A（m，n）是y f(a x)图象上任一点，即f(a m) n，点A关于直线x

b a的对称点为A' b a m，n 。 2∵f[b (b a m)] f(a m) n ∴点A'在y f(b x)的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f(b x)图象上任一点关于直线x b a的对称点也2

在函数y f(a x)的图象上，故函数y f(a x)与函数y f(b x)的图象关于直线x

b a对称。 2说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。 易知，函数y f x

a b 与y 2 a b f x 的图象关于直线x 0对称，由 2

a b b a a b 的图象平移得到y f x y fx f(a x)的图象，由 222

a b b a a b y f x 的图象平移得到y f x f(b x)的图象，它们 2 22