方阵的特征值与特征向量

第三章 矩阵的特征值与特征向量3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

第一节 方阵的特征值与特征向量3.1.1 特征值与特征向量的概念 3.1.2 特征值与特征向量的性质

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量定义

设 A是 n阶 方 阵 。 如 果 n维 非 零 向 量 ξ 和 数 λ 满 足

Aξ = λξ称 λ是 矩 阵 的 特 征 值 ， 称 ξ 是 矩 阵 A的 对 应 特 征 值 λ 的 特 征 向 量

方阵的特征值与特征向量

例

2 1 1 A = 4 0 2 3 2 4

1 ξ1 = 2 1

2 ξ2 = 1 3

验证ξ1,ξ 2是否为A的特征向量。解

2 1 1 1 3 1 Aξ1 = 4 0 2 2 = 6 = 3 2 = 3ξ1 3 3 2 4 1 1

2 1 1 2 6 Aξ 2 = 4 0 2 1 = 2 3 2 4 3 4

方阵的特征值与特征向量

命题1

非零n维向量ξ 是n阶方阵A的特征向量的 充分必要条件是：向量Aξ 与ξ 共线。

命题2 如果ξ 是矩阵A的对应特征值λ的特征向量，

则kξ k ≠ 0)也是A的对应特征值λ的特征向量。 (命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。

ξ ≠ 0 A = λξ, A = λξ , ξ 1 ξ 2λξ λξ = 0 λ λ2) = 0 (1 ξ 1 2ξ ≠0 λ λ 1 2

=0

方阵的特征值与特征向量

A = λx x(A λE)x = 0它有非零解的充分必要条件是

A λE =0 =0a11 λ即

a12 LL an 2

L L

a1n a2 n LL =0

a21 LL an1

a22 λ L

L ann λ

方阵的特征值与特征向量

矩阵的特征方程和特征多项式

A λE = 0 A λE

A的特征方程 A的特征多项式

特征值是特征方程或特征多项式的根

方阵的特征值与特征向量

求矩阵的特征值与特征向量的步骤 1.求矩阵A的特征方程A λE = 0

2.求特征方程的根，即特征值 λ 3.对每个特征值

λ

解方程组

(A λ E )x = 0

方阵的特征值与特征向量

例，求下列矩阵的特征值和特征向量 3 1 A= 1 3 A的特征多项式为

解

= (3 λ ) 2 1 = λ 2 6λ + 8 1 3 λ = (λ 2)(λ 4) A的特征值为 λ1 = 2, λ2 = 4 当λ1 = 2时， 3 2 1 x1 0 1 x = 3 2 2 0 即

3 λ

1

x1 x2 = 0 x1 = x2 x1 + x2 = 0

对应的特 征向量可 取为

1 ξ1 = 1

方阵的特征值与特征向量

当λ2 = 4时 3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 x = x = 1 3 4 2 0 1 1 2 0

x1 = x2对应的特征向量可取为

1 ξ2 = 1

kξ1 k ≠ 0)是对应于λ1的全部特征向量 ( kξ(k ≠ 0)是对应于λ2的全部特征向量 2

方阵的特征值与特征向量

例：求矩阵的特征值

和特征向量 2 1 1 A = 0 2 0 4 1 3 解

2 λ A λE = 0 4

A的特征多项式为

1 2 λ 1

1 0 3 λ

= (2 λ )

2 λ 4

1 3 λ

= (2 λ )(λ 2 λ 6 + 4) = (2 λ )(λ 2 λ 2)

= (λ + 1)(λ 2) 2A的特征值为

λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2

方阵的特征值与特征向量

当λ1 = 1时，解方程 (A + E)x = 0 1 1 1 r3 4r1 A+ E = 0 3 0 r ÷3 4 1 4 2 1 1 1 r1 r2 0 1 0 r3 + 3r2 0 3 0

1 0 1 0 1 0 0 0 0

4 1 1 A 2E = 0 0 0 4 1 1

ξ1 = 1,, ′ ( 01 ) 对应于λ1 = 1的全部特征向量为kξ1 k ≠ 0) 得基础解 ( 系 当λ2 = λ3 = 2时，解方程 (A 2 E)x = 0得基础解系

r3 r1

对应于λ2 = λ3 = 2的全部特征向量为

4 1 1 0 1 0 0 0 ξ2 = 1 ξ = 0 3 0 0 0 1 4

k2ξ 2 + k3ξ3 (k2,k3不同时为0)

方阵的特征值与特征向量

1 1 0 A = 4 3 0 1 0 2

方阵的特征值与特征向量

特征值和特征向量的性质

(1) 0 是 A的 特 征 值 A = 0(2) 设n阶方阵A的全部特征值是λ1,λ2, ,λn,则 Ln

λ1 + λ2 + L + λn = a11 + a22 + L + ann = ∑ aiii =1

λ1λ2 L λn = A

(3 ) λ 是 A的 特 征 值 ,则 - λ 是 - A的 特 征 值

(4) λ是A的特征值，则λ 2是A2的特征值。

方阵的特征值与特征向量

(5) λ是A的特征值，则 是A 的特征值。

1

λ

1

a1 (6) 对角矩阵 Λ = 是 a1,a2, ,an。 L(7)

a2

的全部特征值 O an T -

A A n 阶方阵A与它的转置矩阵A 有相同的特征值。

方阵的特征值与特征向量

定理

设ξ1 ,L , ξ m是矩阵A的特征向量，它们顺次对应的 特征值λ1, ,λm互不相同，则ξ1, ,ξ m线性无关。 L L

α (λiE – A)χ= 0的基础解系为 i1 , α i 2 , L , α iri (i = 1,2, L , m) 。 χ 则 α 11 , α 12 , L , α 1r α21,α22,Lα2r2;……;α m1 , α m 2 ,L ,α mr 线性无关 , ;1m

定理 设

n阶方阵A 有互不相同的特征值

λ1 , λ 2 ,L, , λm

定理 设A为n阶方阵， (A) = a E + a A + a Am ,若λ为 A A 0 1 m

A的特征值，则 特征值。

(λ)

= a0 + a1λ+… + amλm是

A (A)的

方阵的特征值与特征向量

例 设A是一个三阶方阵，1,2,3是它的三个特征值， A 试求 (1) A对角线上元素之和 (2) | A | (3) | A2 + A + E | 解 设A = (aij ) 由定理知 A a11 + a22 + a33 =λ1 +λ2 +λ3 = 1 + 2 + 3 = 6 | A | =λ1λ2λ3 =1 ×2 ×3 = 6 因A的特征值为1,2,3,由定理知 A A2 + A + E的特征值依次为 1+1+1=3,22 + 2 + 1=7, 32 + 3 + 1 = 13 , 再由定理知 | A2 + A + E | = 3×7×13 = 273

方阵的特征值与特征向量

第二节 矩阵的对角化3.2.1 相似矩阵及其性质 3.2.2 矩阵的对角化

方阵的特征值与特征向量

相似矩阵定义 设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在

n 阶可逆矩阵P, 使得

P AP = B1 A相似于A 称 A相似于B,可 B相似于A

1

则称A相似于B,或说A和B相似 。 性 质

2 3

A相似于B,B相似于C,可 A相似于C。

方阵的特征值与特征向量

相似矩阵的性质 若A和B相似，则 1. A和B有相等的秩。 2.A和B有相等的行列式。

P 1 A P = B P AP = B P AP = B 1 1

P

1

P A= P P A= A= B

1

方阵的特征值与特征向量

3.A和B有相等的迹。

tr(B) = tr(P 1AP) = tr(APP 1) = tr(A) P AP = B 4.A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。

1

P AP = BB λE = P AP λE = P (A λE)P 1 1

1

= P 1 A λE P = A λE推论

如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角 矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特 征值。