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第5章 均匀平面波在无界媒质中的传播

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本章内容5.1 理想介质中的均匀平面波 5.2 电磁波的极化 5.3 导电媒质中的均匀平面波 5.4 色散与群速 5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播

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第5章 均匀平面波在无界媒质中的传播

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均匀平面波的概念 波阵面：空间相位相同的点构成的曲面， 波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面 平面波： 平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变 的平面波x波阵面

均匀平面波是电磁波的一种理想 情况，其分析方法简单， 情况，其分析方法简单，但又表 征了电磁波的重要特性。 征了电磁波的重要特性。y oH

E波传播方向

z

均匀平面波

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第5章 均匀平面波在无界媒质中的传播

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5.1 理想介质中的均匀平面波5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解 5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波

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5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解 设在无限大的无源空间中，充满线性、 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想 介质。 轴传播， 介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电磁强度和磁场强度均不是 x 的函数， 和 y 的函数，即 E E Η Η = = 0, = =0 x y x y

d2 E d2 Η + k2 E = 0, + k2 Η = 0 dz2 dz2

Ex Ey Ez 由于 iE = + + =0 x y z Hz 同理 iH = Hx + + =0 x y z Hy

Ez =0 z

Ez = 0 2Ez + k2Ez = 0 z2

Hz = 0

结论： 结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 横电磁波( 方向 —— 横电磁波(TEM波) 波

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设电场只有x 分量， 设电场只有 分量，即

E(z) = ex Ex (z)

d2Ex (z) + k 2Ex (z) = 0 dz2

k = ω µε

其解为： 其解为：Ex (z) = A e jkz + A2e jkz 1 解的物理意义 第一项

E1x (z) = Ae 1

jkz

= E1xme

jφ1x jkz

e

E 1 x = E m cos( ω t kz )

的波形

E1x (z, t) = Re[E1xme jφ 1x e jkze jωt ] = E1xm cos(ωt kz +φ1x )可见， 方向传播的波。 可见， 1e jkz 表示沿 +z 方向传播的波。 A 第二项 E2x (z) = A e 2jkz jφ 2 x

= E2xme

e jkz

沿 -z 方向 传播的波

E2x (z, t) = Re[E2xme jφ 2x e jkze jωt ] = E2xm cos(ωt + kz +φ2x )

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相伴的磁场H 由 × E = jωµ ,可得

磁场与电场相互 垂直， 垂直，且同相位

j E1x k ε 1 H1 = ey = ey E1x = ez ×ex E1x = ez × E1 ωµ z ωµ µ

ηE1x µ = ( ) 称为媒质的本征阻抗。在真空中 其中 η = 称为媒质的本征阻抗。 本征阻抗 H1y ε

µ0 η =η0 = =120π ≈ 377 ε0同理， 同理，对于 E2 = ex E2x = ex A e 2jkz

H2 = ( ez ) × E2

1

η

结论：在理想介质中， 结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。 互垂直，且同相位。

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5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 1、均匀平面波的传播参数 、 (1)角频率、频率和周期 )角频率、 角频率ω :表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s 表示单位时间内的相位变化，单位为 周期T 的时间间隔， 周期 ：时间相位变化 2π的时间间隔，即

ωT = 2π

T=

2π

1 ω 频率 f :f = = T 2π

ω

(s)o

Ex

(Hz)

t T

E x ( 0 , t ) = E m cos ω t

的曲线

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(2)波长和相位常数 ) 波长λ 空间相位差为2π 的两个波阵面的间距， 波长 ：空间相位差为 的两个波阵面的间距，即

kλ = 2π

2π 1 λ= = (m ) k f µε

相位常数 k :表示波传播单位距离的相位变化

k=

2π

λ

(rad/m )o

Ex

k 的大小等于空间距离 内所包含 的大小等于空间距离2π内所包含 的波长数目，因此也称为波数。 的波长数目，因此也称为波数。 波数

z

λ E x ( z ,0) = E m cos kz 的曲线

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(3)相速(波速) )相速(波速) 相速v: 相速 ：电磁波的等相位面在空间 中的移动速度 由 ω kz = C t 故得到均匀平面波的相速为 得到均匀平面波的相速为

ωdt kdz = 0

dz ω 1 ω v= = = = (m s) dt k ω µε µε真空中： v = c =1

相速只与媒质参数 有关， 有关，而与电磁波 的频率无关

µ0ε0

=

1 4π ×10 7 × 1 ×10 9 36π

= 3×108 m /s

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2、能量密度与能流密度 、 1 由于 H = ez × E,于是有

η

2 2 1 1 w = ε E = µ H = wm e 2 2

电场能量与磁场能量相同

故

w= w + w =ε E = µ H e mS = E(z, t) × H(z, t) = ez

2

2

1 2 Em cos2 (ωt kz +φx ) 2 η

1 2 1 2 wav = εEm = µHm 2 21 1 2 * Sav = Re[ E(z) × H (z)] = ez Em 2 2 η

1 2 = ez ε Em 2

1

µε

= wavv

能量的传输速度等于相速

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3、理想介质中的均匀平面波的传播特点 、 根据前面的分析， 根据前面的分析 ， 可总结出理想介质中的均匀平面波的传播 特点为： 特点为： 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波( 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波(TEM 波) 无衰减，电场与磁场的振幅不变 无衰

减， 波阻抗为实数， 波阻抗为实数，电场与磁场同相位 电磁波的相速与频率无关， 电磁波的相速与频率无关，无色散y o H z理想介质中均匀平面波的 E 和 H

x E

电场能量密度等于磁场能量密度， 电场能量密度等于磁场能量密度， 能量的传输速度等于相速

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例5.1.1 频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其 的均匀平面波在聚乙烯中传播， 为无耗材料， 为无耗材料，相对介电常数为εr =2.26。若磁场的振幅为7mA/m, 求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。 求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。 解：由题意 因此

εr = 2.26, f = 9.4×109 Hzv0

v=

εr

=

v0 2.26

=1.996×108 m/s

v 1.996×108 λ= = = 2.12 m 9 f 9.4×10µ η0 377 = = = 251 η= ε 2.26 εr

Em = Hmη = 7×10 3 × 251 =1.757 V/m

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13 第5章 均匀平面波在无界媒质中的传播 1 例5.1.2 均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m,以相位常数 ， 3π 方向传播。 为30 rad/m 在空气中沿 ez 方向传播。当t = 0 和 z = 0时，若 H 时 取

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的表示式，并求出频率和波长。 向为 ey,试写出E 和 H的表示式，并求出频率和波长。 解：以余弦为基准，直接写出 以余弦为基准，

1 H(z,t) = ey cos( t + βz) A/m ω 3π E(z,t) =η0H(z,t) × ( ez ) = ex 40cos( t + βz) V/m ω因 β = 30 rad/m,故 c 3×108 45 2π 2π = ×108 =1.43×109 Hz λ= = = 0.21 m , f = = λ π /15 π β 30 则

1 H(z, t) = ey cos(90×108 t + 30z) A/m 3π E(z, t) = ex 40cos(90×108t + 30z) V/m

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4π 1 π φ =电磁场与电磁波 kz = × = 3 8 6

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的均匀电磁波， 例5.1.3 频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿 +z方 向传播， 向传播，其电场 E = ex Ex 。已知该媒质的相对介电常数εr = 4、相对 磁导率µr =1 ,且当t = 0、z =1/8m时，电场幅值为10-4 V/m。 试求 电场强度和磁场强度的瞬时表示式。 电场强度和磁场强度的瞬时表示式。 解：设电场强度的瞬时表示式为E(z, t) = ex Ex = ex10 4 cos(ωt kz +φ)

式中

ω = 2π f = 2π ×108 rad/sω

2π ×108 4 k = ω εµ = 4 = π rad/m εr µr = 8 c 3×10 3 对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件t 对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件 = 0、z =1/8m 、

时，电场达到幅值，得 电场达到幅值， 4π 1 π φ = kz = × = 3 8 6

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所以

4π π E(z, t) = ex10 cos(2π ×10 t z+ ) 3 6 4π 1 = ex10 4 cos[2π ×108 t (z )] V/m 4 8

3

8

磁场强度的瞬时表示式为

式中 因此

η η µ η0 = = 60π η= ε εr10 4 4 1 H(z, t) = ey cos[2π ×108t π (z )] A/m 60π 3 8

H = ez

× E = ey

1

1

Ex

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例5.1.4 自由空间中平面波的电场强度

E = ex 50cos(ωt kz)V/m,求在z 处垂直穿过半径R 的圆平面的平均功率。 求在 =z0处垂直穿过半径 =2.5m的圆平面的平均功率。 的圆平面的平均功率 解：电场强度的复数表示式为 E = ex 50e jkz 自由空间的本征阻抗为

η0 =120π H = ey

故得到该平面波的磁场强度

E

于是， 于是，平均坡印廷矢量 1 1 5 125 Sav = Re(E × H ) = ez ×50× = ez W/m2 2 2 12π 12π 垂直穿过半径R 垂直穿过半径 =2.5m的圆平面的平均功率 的圆平面的平均功率

η0

= ey

5 jkz e A/m 12π

125 125 2 P = ∫ Sav id S = ×π R = ×π × 2.52 = 65.1 W av S 12π 12π

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5、沿任意方向传播的均匀平面波 、 沿+z方向传播的均匀平面波 方向传播的均匀平面波 沿 en传播方向的均匀平面波

E(z) = Eme jkz = Eme jkez r

E(r ) = Eme jken r = Emeen Em = 0 1 H(r ) = en × E(r )

j (kx x+ky y+kz z)

k = ez kez Em = 0 1 H(z) = ez × E(z)

k = enk = exkx + eyky + ez kz

η

η

x

面 等相位 P(x,y,z)

x波传播方向

面 等相位

r

roy

P(x,y,z) en

波传播方向

o y沿+z方向传播的均匀平面波 方向传播的均匀平面波

z

z

沿任意方向传播的均匀平面波

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例5.1.5 在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为

H = ( ex A+ ey 2 + ez 4)e j (4πx+3πz)式中A为常数。 :( ) ;(2)波长和频率；( ;(3) 式中 为常数。求：(1)波矢量 k;( )波长和频率；( )A 为常数 的值；( ;(4)相伴电场的复数形式；( ;(5)平均坡印廷矢量。 的值；( )相伴电场的复数形式；( )平均坡印廷矢量。 解：(1)因为 H = Hme jk r ,所以 )

Hm = ex + ey 2 + ez 4 ,k r = kx x + ky y + kz z = 4πx + 3πz则

kx = 4π、ky = 0、kz = 3π, k = ex 4π + ez 3πk = (3π )2 +(4π )2 = 5π

en

k 4 3 = = ex + ez k 5 5

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2π 2π 2 c 3×108 = = m, f = = = 7.5×108 Hz ( 2) λ = k 5π 5 λ 2/ 5( 3) ( 4)

k Hm = 4π( A) + 0×2 +3π 4 = 0 A = 3E(r ) =η0H(r ) ×en=120π ( ex 3 + ey 2 + ez 4)e j (4π x+3π z )

4 3 ×(ex + ez ) 5 5

=120π (ex1.2 + ey 5 ez1.6)e j (4π x+3π z)( 5)

1 Sav = R E × H*] e[ 2 1 = R 120π (ex1.2 + ey 5 ez1.6)e j (4πx+3πz) e 2 ×[( ex 3+ ey 2 + ez 4)e j (4πx+3πz) ]*

{

}

=12π × 29×(ex 4 + ez 3)

W m2

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第5章 均匀平面波在无界媒质中的传播 5.2 电磁波的极化

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5.2.1 极化的概念 5.2.2 线极化波 5.2.3 圆极化波 5.2.4 椭圆极化

波 5.2.5 极化波的合成与分解 5.2.6 极化的工程应用

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第5章 均匀平面波在无界媒质中的传播

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5.2.1 极化的概念 波的极化 在电磁波传播空间给定点处， 在电磁波传播空间给定点处 ， 电场强度矢量的端点随时间变 化的轨迹。 化的轨迹。 波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。 化的特性 是电磁理论中的一个重要概念。