26.2用函数观点看一元二次方程(第1课时)

问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位： s)之间具有关系

h = 20t-5t 2

考虑以下问题： (1)球的飞行高度能否达到15m?如能，需要多少飞行时间？ (2)球的飞行高度能否达到20m?如能，需要多少飞行时间？ (3)球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？

(4)球从飞出到落地需要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函 数 h=20t-5t 2 所以可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于 t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球 的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行 高度不能达到问题中h的值.解：(1)解方程

15=20t-5t 2 t 2-4t+3=0 t1=1,t2=3 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.t1=1s 15m 15m t2=3s

(2)解方程 20=20t-5t 2 t 2-4t+4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高 度为20m.t1=2s20m

(3)解方程 20.5=20t-5t

2

t 2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1<0,所以方程无解. 球的飞行高度达不到20.5m.

20m

(4)解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0,t2=4当球飞行0s和4s时，它的高度为0m, 即0s时球从地面发出，4s时球落回地 面.

0s

4s

从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关 系密切. 例如，已知二次函数y = -x2+4x的值为3,求自 变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3(即 x2-4x+3=0). 反过来，解方程x2-4x+3=0 又可以看作已知 二次函数 y = x2-4x+3 的值为0,求自变量x 的值. 一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 深入

下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如 果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共y = x2-x+1 点的横坐标时，函数的值是多少？由此， 你能得出相应的一元二次方程的根吗？ y = x2+x-2

y = x2-6x+9

(1)y = x2+x-2

(2)y = x2-6x+9

1

(3)y = x2-x+1(1)抛物线y = x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2,1.当x 取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1. (2)抛物线y = x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3. 当x = 3 时，函数的值是0.由此得出方程 x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. (3)抛物线y = x2-x+1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2-x+1= 0没有实数根.

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点，公共点的横 坐标是x0,那么当x =x0时，函数的值是0,因此x = x0 就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根.

(2)二次函数的图象与x轴的位置

关系有三种：没有公共点， 有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的 三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等 的实数根.

由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元 二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象 将得的根，一般是近似的. 例 利用函数图象求方程x2-2x-2=0 的实数根. 解：作y = x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横 坐标大约是-0.7,2.7.

所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7(-0.7, 0 ) -4 -2

8 6 4 2 2 -2 ( 2.7, 0 ) 4 y = x2 - 2x- 2

-4

1. 汽车刹车后的距离S(单位：m)与行驶时间 t(单位为：s)的函数关系式S=15t-6t2,汽 车刹车后停下来行驶9米，求汽车刹车后停下来 的时间是多少？解：由函数关系可得： 9 =15t-6t2 解方程得 x1=1 X2=1.5(不符合实际舍去) 所以汽车刹车后停下来的时间为1s.

2. 一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距离为 S(单位：m)与滑行的时间t(单位：s)的函数关 系式是S=1.8t+0.064t2,他通过这段山坡需要多长 时间？解：由函数关系可得： 85 =1.8t+0.064t2 解方程得

t1=25

t2 = -53.125(不符合实际舍去)

他通过这段山坡需要25秒的时间