广东省深圳市南山区2011-2012学年高二下学期期末(4)

时间:2025-04-02

广东地区高二数学期末考试题

f(k+1)=f(k) (1 ak+1)=

=

k+22(k+1)

(k+1)(k+3)(k+2)

2

k+22(k+1)

[1

1(k+2)

2

]

k 32(k 2)

(k 1) 22[(k 1) 1]

, ……12分

即当n=k+1时,等式f(n)=n+2也成立, ……13分

2(n+1)

由①、②知对任意正整数n,f(n)=n+2都成立. ……14分

2(n+1)

19、(本小题满分14分) 解:(1) f′(x)=-3x2+2ax, 据题意,f (1)=tan

2

π4

-3+2a=1,即a=2. …… 2分 =1,∴

43

) ……3分

43

∴f (x)= 3x+4x= 3x(x 令f′(x)>0,得x(x

43

) 0,即0 x

43

∴f (x)的单调递增区间是[[0,], ……4分 令f′(x)<0,得x(x

43

)>0,即x<0或x>

43

43

单调递减区间是(-∞,0],[,+ ), ……5分 故函数f(x)的极小值为f(0)=-4, ……6分 函数f(x)的极大值为f()

3

f (x)= 3x(x (2)∵

2a3). 4

7627

. ……7分

①若a≤0,当x>0时,f′(x)<0,从而f (x)在(0,+∞) 上是减函数. 又f (0)=-4,则当x>0时,f (x)<-4.

∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0. ……10分 ②若a>0,则当0<x<从而f(x)在(0,

2a3

2a3

2a3

时,f′(x)>0,当x>

2a3

时,f′(x)<0.

]上单调递增,在[,+ )上单调递减.

3

∴当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(

4a

3

2a3

)=

8a

27

+

4a9

3

4=

4a

3

27

4,

据题意,

27

4>0,即a>27,∴a>3. 故a的取值范围是(3,+∞).

3

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