信号与系统

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§3.4非周期信号的频谱分析 ─ 傅里叶变换北京化工大学信息科学与技术学院

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上节主要内容回顾

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周期信号f(t)的付里叶级数三角形式

f (t ) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t )=c0 + ∑cn cos(nω1t + n )n=1 n=1 ∞

∞

c0 = a0指数形式

2 2 cn = an + bn

bn n = tg a n 1

f (t ) =

n=∞

∑F(nω1) e

∞

jnω1t

1 T1 jnω1t F ( nω1 ) = ∫ f (t) e dt T 01 F(nω1) = cn 2

F(nω1 ) = F(nω1 ) e jn1

bn n = tg a n

X

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周期矩形脉冲信号的傅立叶级数f (t )

T1

τ / 2

τ /2

T1

t

∵ f (t ) 是个偶函数指数形式的谱系数： 指数形式的谱系数： f (t ) =

∴bn = 0, 只有 0 , an aF(nω1) e jnω1t ∑∞

1 T1 2 Eτ τ jnω1t F(nω1 ) = ∫T1 f (t )e dt = Sa nω1 T T1 2 2 1

n=∞

F(nω1)为实 函数 Fn > 0,相位为 0 Fn < 0相位为 π。 , ±X

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频谱及其特点

Eτ τ F(nω1 ) = Sa nω1 T1 2 EτF(nω1 )

T1

2π

Eτ 包络线形状： (1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n = 0处，为 。 T1 2π 4 第一个零点坐标： ( )第一个零点坐标： 离散谱(谐波性) (3)离散谱(谐波性) τ ωτ 2π 令 = π →ω= 当ω = nω1时取值 2 τX

O ω1 2ω1

τ

ω

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周期矩形脉冲信号的功率∞ 1 T 2 2 P = ∫ f (t )dt = ∑ F(nω1 ) T 0 n=∞ 1 1 以τ = s,T = s为例，取前 5 次谐波 第一个零点内 , 1 20 4

P5n = F (0) + F(ω1 ) + F(2ω1 ) + F(3ω1 ) + F(4ω1 )2 2 2 2 2 2 2

2 2

+ F( ω1 ) + F( 2ω1 ) + F (3ω1 ) + F (4ω1 )

= 0.181E2 1 T1 2 f (t )dt = 0.2E2 而总功率 T ∫0 1 p5n 二者比值 = 90.5% p

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Eτ

F(nω1 )

T1

2πO ω1 2ω1

τ

ω

第一个零点集中了信号绝大部分能量(平均功率) 第一个零点集中了信号绝大部分能量(平均功率) 大部分能量 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 收敛性可知X

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信号的频带宽度在满足一定失真条件下， 在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 信号来表示，此频率范围称为频带宽度 频带宽度。 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 第一个零点作为信号的频带宽度 2π 1 Bω = 带宽与脉宽成反比。 或Bf = ,带宽与脉宽成反比。 τ τ 1 对于一般周期信号， 对于一般周期信号，将幅度下降为10 F(nω1 ) max的 频率区间定义为频带宽度。 频率区间定义为频带宽度。

3.系统的通频带>信号的带宽，才能不失真300~3400Hz, 语音信号 频率大约为 ， 50~15,000Hz, 音乐信号 ， 扩大器与扬声器 有效带宽约为 15~20,000Hz。 。X

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本节主要内容傅里叶变换 傅里叶变换的特殊形式 傅里叶变换的物理意义 傅里叶变换存在的条

件 重点 难点 傅里叶变换 傅里叶变换的物理意义

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一.傅里叶变换1. 引出T1 → ∞

f (t ) :周期信号

非周期信号 0

1 T1 2 F 谱系数 (nω1 ) = ∫T1 f (t )e jnω1t d t T1 2

离散谱

连续谱，幅度无限小； 连续谱，幅度无限小；

表示频谱就不合适了， 再用 F(nω1 )表示频谱就不合适了，虽然各 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 引入频谱密度函数 频谱密度函数。 引入频谱密度函数。X

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F(nω1 ) F(nω1 ) T F(nω1 ) = = 1 1T f 1 当T →∞时， 11 f = → 0, F(nω1 ) → 0 T1

T1

1 T1 2 F(nω1 ) = ∫T1 f (t )e jnω1t d t T1 2

T1

(1) )

F(nω1 ) → 有界函数 f

单位频带上的频 谱值

(nω1 ) = ω1 →dωT →∞ 1

(nω1 ), ω 连续 →T11

F(ω) = limT F(nω1 ) = lim∫T2 f (t )e jnω t d t 1频谱密度函数 简称频谱

∞ ω T1 → ∞ T12 f ( t )ej nω 1 t dt ∞ 2T1

T1 →∞

1

2

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频谱密度函数的表示F(ω) = ∫ f (t )e jω t dt = F[ f (t )]∞ ∞

由 (t)求 (ω) 称 非周期信号的傅立叶变换 f F 为非周期信号的傅立叶变换

F(ω)一般为复信号故可表示为 ,

F(ω) =| F(ω) | e j(ω )F(ω) ~ ω : 幅度频谱

(ω) ~ ω : 相位频谱

X

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2.反变换 f (t)应是 (ω)的反变换？ F 的反变换？由复指数形式的傅里叶级数f (t ) =

n=∞

∑F(nω )e1∞

∞

jnω1t

除以 1,再乘以 1 ω ωf (t ) =

∵F(ω) = limT F(nω1 ) 1T →∞ 1

n=∞

∑

F(nω1 )

ω1

ω1 e

jnω1t

= limT →∞ 1

F(nω1 ) (n

ω1

2π

, 当T →∞时 ω1 →dω, nω1 →ω 1

∴limT →∞ 1

F(nω1 )

ω1

F(ω) = 2π

1 ∞ f (t ) = F(ω)e jω t dω 2π ∫∞

X

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3.傅里叶变换对

F(ω) = ∫ f (t )e∞

∞

jω t

dt = F[ f (t )]

1 ∞ jω t 1 f (t ) = ∫∞ F(ω)e dω = F [ f (t)] 2π

简写

f (t ) F(ω)X

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二.傅里叶变换的特殊形式F(ω) = F(ω) ejφ (ω )

= R(ω) + jX (ω ) 实部 虚部

f (t ) = fe (t ) + fo (t )实信号 偶分量∞

奇分量

F(ω) = ∫ f (t )e jω t d t∞ ∞

欧拉公式

=∫

[ fe (t) + fo (t)] [cosωt j sinωt]dt ∞∞ ∞

= 2∫ fe (t )cosωt dt j2∫ fo (t )sinωt dt 0 0 虚部 实部

X

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R(ω ) = 2∫ fe (t ) cosωtdt0

∞

关于ω 的偶函数

X(ω ) = 2∫ fo (t ) sinωtdt0

∞

ω 关于 的奇函数关于ω 的偶函数

F(ω ) =

[R(ω)]2 + [ X(ω)]21

φ(ω ) = tg

f (t ) 偶函数 函数， F(ω) 为实函数，只有 R(ω) ,相位 ± π 分量为零 (奇分量为零) f (t ) 奇函数 F(ω)为虚函数，只有 X(ω),相位 ± π 函数， 2 分量为零 (偶分量为零) X

X(ω ) R(ω )

ω 关于 的奇函数

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三.傅里叶变换的物理意义1 ∞ f (t ) = F(ω)e jω t dω F(ω) = F(ω) e jφ (ω ) 2π ∫∞ 实函数 = 1 ∞ F(ω)e jφ (ω )e jω t dω 2π ∫∞ 欧拉公式1 ∞ = ∫∞ F(ω) cos[ω t +φ(ω)]dω 积分为0 积分为 2π 1 ∞ +j ∫∞ F(

ω) sin[ω t +φ(ω)]dω 2π

=

∫ F(ω) cos[ω t +φ(ω)]dω π1∞ 0∞

=∫

F (ω)

0

π

dωi cos ω t +θ (ω)

X

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解释f (t) = ∫∞

F (ω)

0

π振幅

dωicos ωt +θ (ω)

余弦信号 1 无穷多个振幅为无穷小 F(ω) dω 的连续余弦信号 π ,频域范围 : 之和 频域范围 0 → ∞ ∞ F(ω) 1 ∞ jω t f (t ) = F(ω)e dω = ∫ dω e jω t ∞ 2 2π ∫∞ π 1 F(ω) dω 的连续指数 无穷多个幅度为无穷小 2π , , 信号之和占据整个频域 ω : ∞ →∞;X

求和

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四.傅里叶变换存在的条件∫∞ ∞

f (t ) dt = 有限值

(充分条件 )

f 即 (t )绝对可积

所有能量信号均满足此条件。 所有能量信号均满足此条件。, δ 当引入 (ω )函数的概念后允许作变换的函数类 . 型大大扩展了

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