篇一：2012_小学奥数精华讲义汇总

2012 小学奥数精华讲义汇总

第一讲分数的速算与巧算

教学目标

本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.

1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算， 使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨

一、裂项综合

（一）、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1

a ×b

形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a < b ，

那么有

1 1 (1 1)

a b b a a b

= ?

× ?

(2)对于分母上为3 个或4 个连续自然数乘积形式的分数，即：

1

n × (n +1)× (n + 2)

，

1

n × (n +1)× (n + 2)× (n + 3)

形式的，我们有：

1 1[ 1 1 ]

n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)

= ?

× + × + × + + +

1 1[ 1 1 ]

n (n 1) (n 2) (n 3) 3 n (n 1) (n 2) (n 1) (n 2) (n 3)

= ?

× + × + × + × + × + + × + × +

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1 的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x

提取出来即可转化为分子都是1 的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2 个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）

a b a b 1 1

a b a b a b b a

+

= + = +

× × ×

（2）

a2 b2 a2 b2 a b

a b a b a b b a

+

= + = +

× × ×

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的， 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1) 1× 2 + 2×3 + 3× 4 + ...+ (n ?1)×n 1 ( 1) ( 1)

3

= n ? ×n × n +

(2)

1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... ( 2) ( 1) 1 ( 2)( 1) ( 1)

4

× × + × × + × × + + n ? × n ? ×n = n ? n ? n n +

二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数

1、循环小数化分数结论：

纯循环小数混循环小数

- 2 -

分子循环节中的数字所组成的数

循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字

所组成的数的差

分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数

按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0

的左侧

·

0.

9

a = a ；

· ·

0.

99

ab = ab ；

1 0.0

99 10 990

ab = ab × = ab ； · ·

· ·

0.

990

abc abc a ?

= ，??

2、单位分数的拆分：

例：

1

10

=

1 1

20 20

+ = ( ) ( )

1 + 1 = ( ) ( )

1 + 1 = ( ) ( )

1 + 1 = ( ) ( )

1 + 1

分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：

1 1( )

( ) ( ) ( )

m n m n

N N m n N m n N m n

+

= = +

+ + +

=

1 1

A B

+

本题10 的约数有:1,10,2,5.。

例如：选1 和2，有：

1 1(1 2) 1 2 1 1

10 10(1 2) 10(1 2) 10(1 2) 30 15

+

= = + = +

+ + +

本题具体的解有：

1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 11 110 12 60 14 35 15 30

= + = + = + = +

例题精讲

模块一、分数裂项

【例1】1 1 1 1 1

1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 10

+ + + ? ? ? + +

× × × × × × × × × × × × × × ×

【解析】原式

1 1 1 1 1 1 1

3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 10

= × ? ? + ? + + ? ? ? × × × × × × × ×

?

1 1 1

3 1 2 3 8 9 10

= × ? ? ? ? × × × × ? ? ?

119

2160

=

【巩固】3 3 ...... 3

1 2 3 4 2 3 4 5 17 18 19 20

+ + +

× × × × × × × × ×

【解析】原式

3 [1 ( 1 1 1 1 ... 1 1 )]

3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20

= × × ? + ? + + ?

× × × × × × × × × × × ×

1 1 3 19 20 1 1139

1 2 3 18 19 20 18 19 20 6840

× × ?

= ? = =

× × × × × ×

【例2】计算：

5 7 19

1 2 3 2 3 4 8 9 10 × × ? ? ? × ×

+ + + =

× × × × × ×

? ．

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不 相同 …… 此处隐藏：4017字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……