湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷(5)

湖南师大附中2019届高三文科数学上学期月考试卷(一)含解析

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平面PAC所成的角为∠BFO.8分不妨设AP＝2，∵∠PDA＝30°，∴AE ＝12AD＝2，又∵四边形ABCE为菱形，∠BAD＝60°，∴OB＝1，

∵Rt△BOF中，OF＝12AP＝1，OB＝1，∴∠BFO＝45°.11分故直线BF与平面PAC所成的角的大小为45°.12分 19．(本小题满分12分) 已知数列{an}中，Sn为其前n项和，且a1≠a2，当n∈N＋时，恒有Sn＝pnan(p为常数)． (1)求常数p的值； (2)当a2＝2时，求数列{an}的通项公式； (3)在(2)的条件下，设bn＝4（an＋2）an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<74. 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1，∴a1＝pa1，��p＝1或a1＝0，当p＝1时，Sn＝nan则有S2＝2a2��a1＋a2＝2a2��a1＝a2与已知矛盾，∴p≠1，只有a1＝0.2分当n＝2时，由S2＝2pa2��a1＋a2＝2pa2，∵a1＝0又a1≠a2，∴a2≠0，∴p＝12.4分(2)∵a2＝2，Sn＝12nan，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－n－12an－1，6分 (n－2)an＝(n－1)an －1��ann－1＝an－1n－2，∴ann－1＝a21��an＝2n－2.8分当n＝1时，a1＝2×1－2＝0也适合，∴an＝2n－2.9分 (3)bn＝4（an ＋2）an＋1＝1n2<1（n－1）n＝1n－1－1n.10分当n＝1，2时，显然成立，当n≥3时有∴Tn<1＋14＋12－13＋…＋1n－1－1n＝74－1n<74.12分 20．(本题满分12分) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，设点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A、B、P为椭圆C上三点，满足OP→＝35OA→＋45OB→，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y＝x＋1与轨迹E交于M、N两点，求|MN|. 【解析】(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝22. ∴椭圆C的标准方程为x28＋y24＝1.4分 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵OP→＝35OA→＋45OB→，∴OP→＝35x1＋45x2，35y1＋45y2，∴点P坐标为35x1＋45x2，35y1＋45y2.5分∵点P在椭圆C上，∴1835x1＋45x22＋1435y1＋45y22＝1，∴925x218＋y214＋1625x228＋y224＋2425x1x28＋y1y24＝1，即925＋1625＋2425x1x28＋y1y24＝1，即x1x28＋y1y24＝0.6分令线段AB的中点坐标为Q(x，y)，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.7分∵A、B在椭圆C上，∴x218＋y214＝1，x228＋y224＝1，8分��x21＋x228＋y21＋y224＝2，∴（x1＋x2）