第八节 常系数齐次线性微分方程

常系数齐次线性微分方程 y py qy 0如何求解？

(1 )

根据齐次线性微分方程通解的结构， 只须求出两个线性无关的解即可. 推测解的形式 尝试

y e (r为待定常数)rx

代入微分方程

将y e

rx

得 代 入 方 程 y py qy 0,

r erx

2

pr q e

rx

0,

0,2

r pr q 0

特征方程特征根 求根公式

二 次 方 程 有 两 个 根 r1 , r2,

r1 , r2

p

p 4q2

2

y py qy 0特征方程 r pr q 02

(1 ) 0p 4q2

求根公式

2 特征根r , r2有三种不同情形： 11 两 个 不 相 等 实 根 r1 r2 ,

r1 , r2

p

0 0

y e

r1 x

,y e

r2 x

是 1 的 二 个 线 性 无 关 的 解 ，

因此通解为

y C 1e

r1 x

C 2e

r2 x

2 两 个 相 等 实 根 r1 r2 , p r1 r2 , 一特解为 y e r1 x , 特征根为 1 2

设 另 一 特 解 为 y 2 u ( x )e2

r1 x

,

将 y2 , y2 , y2 代 入 原 方 程 并 化 简 ，

u ( 2 r1 p ) u ( r1 pr 1 q ) u 0 , 0 0r1 x

知 u 0 , 可取 u( x ) x ,找 到 一 个 线 性 无 关 的 解 是 y2 xe ,

因此通解为

y (C1 C 2 x )e

r1 x

;

3 一 对 共 轭 复 根 r1, = i , 得 到 二 个 线 性 2

无 关 的 解 y1 e

i xi

, y2 e

i x 复值解

由欧拉公式：e

cos i sin

y1 ey2 e

x

e

i x

e

x

e

i x

co s x i sin x x e co s x i sin x x

得到两个线性无关的实值解： 1 x y 1 y 1 y 2 e co s x , 2 1 x y2 y 1 y 2 e sin x , 2i

复值解 y 1 e 实值解 y 1 y2 1 2 1

i xi

, y2 e

i x

欧拉公式: e

cos i sin x

( y1 y 2 ) e

co s x ,

2i 因此通解为 y C 1 y 1 C 2 y 2

( y1 y 2 ) e

x

sin x ,

y e

x

C 1 co s x C 2 sin x

特征方程法求 方 程 y py qy 0 通 解 的 步 骤 ：

1 写出微分方程的特征方程

r pr q 02

2 求 出 微 分 方 程 的 特 征 根 r1 , r2

3 根 据 微 分 方 程 的 特 征 根 r1 , r2的 不 同 形 式 ，写出微分方程的通解.

特征根

通解y C 1er1 x

1 2

r1 r2 ,r1 r2

C 2e

r2 x

重 根

y C1 C 2 x ey e x

r1 x

3

r1, = i 2

C 1 cos x C 2 sin x

共 轭

例1

求 方 程 y 2 y 3 y 0的 通 解 .

解 所给方程的特征方程为r 2r 3 02

即 r

1 r 3 0其 根 r1 1, r2 3

两 个 不 相 等 的 实 根 C 2e3x

方程的通解为y C 1e x

例2 求 方 程 y 4 y 4 y 0的 通 解 . 解 所给方程的特征方程为r +4 r 4 02

即 r 2 02

其 根 r1 r2 2

两 个 相 等 的 实 根 2 x

方程的通解为 y C 1 C 2 x e

例3 求 方 程 y 2 y +5 y 0的 通 解 .

解 所给方程的特征方程为r 2 r +5 02

r1 , r2

2

2 4 52

2 4 1 2

2

其 根 r1, r2 1 2 i

共 轭 的 复 根

方程的通解为y e x

C 1 co s 2 x C 2 sin 2 x

推广 n阶常系数齐次线性方程解法y( n)

P1 y

( n 1 )

Pn 1 y Pn y 0n 1

特征方程为 r P1rn

Pn 1r Pn 0

特征根若 是 k重 根 r

通解中的对应项(C 0 C 1 x C k 1 x[( C 0 C 1 x C k 1 xk 1

k 1

)e

rx

若 是 k重 共 轭 复 根 i

) cos x ) sin x ]e x

( D 0 D1 x D k 1 x

k 1

注意 n次代数方程有n个根, 而特征方 程的每一个根都对应着通解中的一项,

且每一项各一个任意常数.y C 1 y1 C 2 y 2 C n y n

例4 求方程y( 5)

y5

( 4)

2y4

( 3)

2 y y y 0 的通解 .2

解 特征方程为r r 2r 2r r 1 0,3

( r 1 )( r 1 ) 0 ,2 2

特征根为 r1 1, r2 r3 i , r4 r5 i , 故所求通解为y C 1e x

( C 2 C 3 x ) cos x ( C 4 C 5 x ) sin x .

小结

求 y py qy 0 通 解 的 方 法

特征方程法1 写出微分方程的特征方程

r pr q 02

2 求 出 微 分 方 程 的 特 征 根 r1 , r2

3 根 据 微 分 方 程 的 特 征 根 r1 , r2的 不 同 形 式 ，写出微分方程的通解.

特征根(1) r1 r2 ,( 2 ) r1 r2

通解y C 1er1 x

C 2e

r2 x

重 根 ( 3 ) r1, = i 2

y C1 C 2 x ey e x

r1 x

C 1 cos x C 2 sin x

共 轭

作 业p.310 习题12-8

1.(1),(3),(5),(9); 2.(2),(4).