十一、

∑n =1

∞

( 1)n

n

(n

2

n + 1)

2n

∞ 1 1 = ∑ n ( n 1) + ∑ , 2 n=0 2 n =0

∞

n

n

1 2 1 ∑ 2 = 1 = 3 . n =0 1+ 2 1 令 s ( x ) = ∑ n ( n 1) x n 2 , 则 2 n= 2 ∞ 1 n n ′′ 4 s ( x) = ∑ x = , n= 2 2 ( 2 + x )3 ∞ n

∞

2分

4分

4 1 s (1) = ∑ n ( n 1) = , 27 2 n =0

∞

n

6分

∑n =0

∞

( 1)

n

(n

n + 1) 2 4 22 = + = 2n 3 27 272

7分

十二、因为 f ( t ) 连续， f ( t ) 也连续，所以由积分中值定理存在 ξ ∈ [ 0,1] 使

∫ f ( t ) dt = f (ξ ) ,0 ≤ ξ ≤ 1 .1 0

2分x

又 f ( x ) f (ξ ) = 所以

∫ξ f ′ ( t )dt ,即 f ( x ) = f (ξ ) + ∫ξ f ′ ( t )dt ,x

4分

f ( x ) ≤ f (ξ ) +

∫ξ

x

f ′ ( t )dt ≤ f (ξ ) + ∫ f ′ ( t ) dtx

ξ

6分

≤ f (ξ ) + ∫ f ′ ( t ) dt1 0

故 f ( x) ≤

∫ ( f ( t ) + f ′ ( t ) )dt .1 0

7分

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