2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第18讲

2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》

第十八讲 同角三角函数基本关系与诱导公式

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回归课本 1.同角三角函数关系式是由三角函数的定义推导出来的，各 恒等式“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义. 2.同角三角函数关系式 平方关系 sin2α+cos2α=1 倒数关系 tanα·cotα=1 sinα 商数关系 tanα= cosα

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3.诱导公式产生的背景：将角的范围扩展到实数集，又给予三角 函数的定义后，由于在0°~90°间的角的三角函数值可以通过查表的 方式求得，因此需要用公式将任意角转化为0°~90°间的角. 设0°≤α≤90°,那么90°~180°间的角用α写成180°-α或90° +α,180°~270°间的夹角用α写成180°+α或270°-α,270°~ 360°间的角用α写成360°-α或270°+α,以上写成的这些角的终边与 α的终边可能不同，但它们的同名三角函数值只是符号上的差异，这给 我们解决问题带来了许多方便.

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4. 记忆诱导公式常用口诀为“奇变偶不变， 符号看象限”. 其 kπ 中，“奇、偶”是指“ ±α”(k∈R)中 k 的奇偶性，“符号”是 2 把任意角 α 看成锐角时原函数值的符号. 5.角 α 的终边与角 180°+α 的终边关于原点对称，角 α 的终 边与角-α 的终边关于 x 轴对称. 6.诱导公式的应用：求值、化简、证明.

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考点陪练 5 1.α 是第四象限角，tanα=- ,则 sinα=( 12 A. 1 5 B.- 1 5 C. 5 13 D.- 5 13 )

sinα 5 解析：由 tanα= =- ,sin2α+cos2α=1,及 α 是第四象 12 cosα

sinα=- 5 , 13 限角，解得 12 cosα= . 13 答案：D

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2.以下各式中可能成立的是( A.sinα=cosα= 1 2

) 1 B.cosα= 且 tanα=2 3 1 D.tanα=2 且 cotα=- 2

1 3 C.sinα= 且 tanα= 2 3

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解析：由 sin2α+cos2α≠1 知 A 错. 由 tanα·cotα≠1,∴D 错. 2 1 由 tanα=2 知 sinα= ,又 cosα= , 3 5 ∵sin2α+cos2α≠1,∴B 错. 1 3 3 由 sinα= 得 cosα=± ,∴tanα=± , 2 2 3 当 α 为第一象限角时有 tanα= 3 ,故选 C. 3

答案：C

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cot(α-4π)·cos(α+π)·sin2(α-3π) 3.化简 的结果是( tan(π+α)·cos3(-α-π) A.1 B.0 C.-1 1 D. 2

)

cotα(-cosα)(-sinα) 2 cotα 2 解析：原式= = tan α=1. tanα tanα(-cosα)3

答案：A

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79 4.cos - π 的值为( 6

) 3 C.- 2 3 D. 2

1 A.- 2

1 B. 2

79 79 π π 解析：cos - π =cos π=cos 13π+ =-cos =- 6 6 6 6

3 ,故 2

选 C.

答案：C

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5.(2011·天津十二区县重点学校联考)下列各选项中，与 cos2008°最接近的数是(3 A. 2 2 B. 2

)3 C.- 2 2 D.- 2

解析：cos2008°=cos(360°×6-152°)=cos152°, 3 故 cos2008°≈cos150°=- . 2

答案：C

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类型一

利用同角三角函数的基本关系式化简、求值

解题准备：所谓化简就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能 的简单，也就是使项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可 能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值.1-cos4α-sin4α 化简 . 1-cos6α-sin6α

【典例 1】

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[解析]

由于表达式中涉及到的函数都是同一个角 α 的三角

函数，故考虑采用同角三角函数基本关系式进行化简，又注意到 次数比较高，故考虑到降次. (sin2α+cos2α)2-cos4α-sin4α 原式= (sin2α+cos2α)3-cos6α-sin6α 2cos2α·sin2α 2 = = . 3cos2α·sin2α(cos2α+sin2α) 3

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[点评]

利用同角三角函数的基本关系式化简三角表达式除从正面

直接利用公式外，还要特别注意公式的逆用以及变形应用，常用到的两 个技巧为：一是“1”的代换：平方关系的代换即1=sin2α+cos2α;倒数 关系的代换即1=tanα·cotα;二是“弦切互化”:把三角表达式中的弦 函数化为切函数或者把切函数化为弦函数，究竟用哪种 …… 此处隐藏：1898字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……