小行星轨道问题解
时间：2025-07-08
小行星轨道问题
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摘要：要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太阳为
原点的空间直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道。由于观测所得到的数据较多，但毫无疑问是存在误差的。因此，应该尽量使用到这些数据来求最优解。
关键字：椭圆，最优解，最小二乘法,Matlab,Lingo
问题描述：要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太
阳为原点的空间直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道。已知在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，表B给出了相应的观测数据。
11
10米。 注：一个天文单位等于地球到太阳的平均距离，即1.4959787
你所要作的工作是：确定这颗小行星的轨道，如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、
近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等。
题解：
由开普勒第一定律：
太阳系中的所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
可知：此小行星的轨道为椭圆，太阳是这个椭圆的一个焦点。 下面以此为前提来求解小行星的轨道方程。
由于题目提供了5组观测数据，这里有两种可行的方法：
1、仅考虑椭圆上的这5个点，不考虑太阳的位置（不一定是焦点），设椭圆轨道方程为一般方程
a1x2 2a2xy a3y2 2a4x 2a5y 1 0
然后代入5个点的坐标，使用matlab算出结果。
2、在考虑太阳的位置（必须是焦点）基础上，对另外五个点用最小二乘法的方法进行曲线拟合，求出最优解，从而得出方程，即认为这五个点都有一定的误差，拟合后得出最优解。
详细步骤：
1、第一种方法
x
需要确定系数ai,i 1,2,3,4,5;利用已知的数据，不妨设 i欲确定系数ai等价于求解一个线性方程组：
a1x12 2a2x1y1 a3y12 2a4x1 2a5y1 1 0 2
2
a1x2 2a2x2y2 a3y2 2a4x2 2a5y2 1 0 22
2a4x3 2a5y3 1 0 a1x3 2a2x3y3 a3y3
22ax 2axy ay24434 2a4x4 2a5y4 1 0 14
22
a1x5 2a2x5y5 a3y5 2a4x5 2a5y5 1 0
yi
i 1,2,3,4,5;
可写成矩阵的形式： AX b
x12
2 x2
2
A x3
2 x4 x2 5其中，即：
33.2237 39.5138
45.6841
51.3802 54.8785
2x1y12x2y22x3y3
2x4y42x5y5
y12
2y22y32y42y5
2x12x22x32x42x5
2y1 a1 1 a 1 2y2 2 X a3 b 1 2y3 a2y4 4 1
2y5 a5 ， 1 ，
7.470115.111524.6433
36.212749.7818
可见，解答上述问题就是对线性方程进行求解。 模型求解：
1.1利用matlab求解矩阵 代码如下：
A=[33.2237,7.4701,0.4199,11.5280 ,1.2960;39.5138,15.1115 ,1.4448 ,12.5720 ,2.4040;45.6841, 24.6433 ,3.3233, 13.5180 ,3.6460;51.3802, 36.2127, 6.3807, 14.3360, 5.0520;54.8785, 49.7818, 11.2896, 14.8160 ,6.7200] B=[-1 ;-1; -1; -1; -1 ] inv(A)*B 结果： A =
33.2237 7.4701 0.4199 11.5280 1.2960
11.52801.2960 a1 1
a 1 1.444812.57202.4040 2
3.323313.51803.6460 a3 1
6.380714.33605.0520 a4 1 11.289614.81606.7200 1 a5 0.4199
39.5138 15.1115 1.4448 12.5720 2.4040 45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.6460 51.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.0520 54.8785 49.7818 11.2896 14.8160 6.7200 B = -1 -1 -1 -1 -1 ans =
0.0507 -0.0351 0.0381 -0.2265 0.1321
所以，轨道方程是：
0.0507x2 2*0.0351xy 0.0381y2 2*0.2265x 2*0.1321y 1 0
1.2画出轨迹图： 代码如下：
>>x=-3.5:0.01:15.7;
>> y=(-24.92+5.66*x+sqrt((5.66*x-24.92).^2-4*2.58*(4.23*x.^2-41.02*x+1)))/5.16; >> y1=(-24.92+5.66*x-sqrt((5.66*x-24.92).^2-4*2.58*(4.23*x.^2-41.02*x+1)))/5.16; >> plot(x,y,x,y1),grid on 结果：
显然，太阳（坐标（0,0））不在椭圆的焦点，而在小行星的轨道附近，这是不符合实际的。因此，使用这种方法得到的结果，误差较大，舍弃。
2.第二种方法
根据椭圆上的点到两焦点的距离和为定值，设另一个焦点的坐标为F（m，n），半长轴为a。
使用最小二乘法求最优解。列出式子如下：
22222
Min [(Xi m) (Yi n)根据上面的式子运用lingo求解 代码如下：
model: sets:
VOR/1..5/: x, y; Endsets data:
x,y=5.764 0.648 6.286 1.202 6.759 1.832 7.168 2.526 7.48 3.36; enddata
min = @sum(VOR: @sqr(@sqrt(x^2+y^2 end
结果为：
Local optimal solution found.
Objective value: 0.3372721E-04 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 1493 Total solver iterations: 708552
Variable Cost
M 0.000000
N -0.1280014E-08
A 0.2761780E-08
X( 1) 0.000000
X( 2) Xi Yi 2a]
)+ @sqrt((x-m)^2+(y-n)^2)-2*a)); Value Reduced 6.388046 4.850413 5.024199 5.764000 6.286000
0.000000
X( 3) 6.759000 0.000000 0.000000
X( 4) 7.168000 0.000000 0.000000
X( 5) 7.480000 0.000000 0.000000
Y( 1) 0.6480000 0.000000 0.000000
Y( 2) 1.202000 0.000000 0.000000
Y( 3) 1.832000 0.000000 0.000000
Y( 4) 2.526000 0.000000 0.000000
小行星轨道问题解.doc
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