高数考研大一下6

时间：2026-01-15

第六讲几类常微分方程的求解方法7-1 一阶微分方程的解法 (P411) 一. 方法指导1. 标准类型方程的解法

关键 : 辨别方程类型 , 掌握求解步骤(1) 可分离变量方程

解法: 分离变量 , 两边积分(2) 齐次方程

解法: 令

化成可分离变量型

(3) 一阶线性方程解法: 常数变易法或代公式

(4) 贝努力方程解法: 令化成线性方程 .

(5) 全微分方程

解法: 求

Q P x y通解为

的原函数

二. 非标准类型方程的解法1、变量代换法转化为标准类型求解

例如, 方程

a b a x b y c 0 的根 (h , k ) , 若 , 先求 a1 b1 a1 x b1 y c 1 0 作变换 x X h , y Y k , 则原方程化为 dY a X bY (齐次方程) d X a1 X b1Y a b 若 , 作变换 v a x b y , 化成可分离变量 a1 b1方程.4

2、积分因子法

不是全微分方程选择积分因子

( x, y)

P d x Q d y 0 为全微分方程常用的微分倒推式有

1) d x d y d ( x y ) 2) x d y y d x d ( x y ) 1 2 2 3) x d x y d y d ( ( x y ) ) 2 x y y d x xd y y d x xd y 4) d( ) 5) d( ) 2 2 y x y x 5

y d x xd y x 6) d ( ln ) xy y y d x xd y x 7) d ( arctan ) y x 2 y 2 xd x y d y 8) d ( x2 y2 ) x 2 y 23. 解微分方程应用问题的方法步骤利用物理规律建立微分方程利用几何关系 ( 共性 ) 建立方程问题初始条件 (数学模型) (衔接条件) 确定定解条件边界条件 6 ( 个性 )

二. 实例分析例1. 分别求出以下列各函数为通解的微分方程 (1) y x tan( x C ); (2) x y C 1 e x C 2 e x 解: (1) y tan( x C ) x sec 2 ( x C ) 2

(2) 通解两边对 x 求导 , 再求导 , 得

tan( x C ) x tan ( x C ) x y tan( x C ) 2 x y y y x 即 x y y y 2 x 2 x x

C 1 e x C 2 e x y xy x y C 1 e x C 2 e x 2y

x y 2 y x y7

例2. 变下列方程为标准形式

(1) y sin( x y) sin( x y) ; dy dy x2 y (2) x y (ln y ln x) ; (3) ; dx d x x3 y 4 (4) ( y 2 x3 ) d x 2 x d y 0 .解: (1) 利用三角公式得

y 2sin y cos x

sin sin 2 sin cos 2 2分离变量型

dy y y (2) ln 齐次方程 dx x x dx 1 贝努里方程 (3) x y3x 2 dy y dy 1 2 线性方程 (4) y x d x 2x

x, y 有 y x f ( x y) e f ( x) e f ( y) , 且 f (0) e , 求 f (x) .例3. 设函数 f (x) 可导, 且对任意实数

( x y) e y f ( x) e x f ( y) 解: 等式两边对 y 求导 f

即

f ( x) f ( x) e f (0) f ( x) e x 1 f ( x) f ( x) e x 1 (线性非齐次方程)

令y=0 x

d x e x 1e d x d

x C e x [e x C ] f ( x) e 在原等式中令 x 0 , y 0 , 得 f (0) f (0) f (0) ,因此初始条件为 f (0) 0 , 由此得 C = 0 , 故所求函数为 x 1

f ( x) x e

例4. 设 f (1) 4 且对任意实数 x , y 有

f ( xy) xf ( y) yf ( x), 求 f (x) . 解: 等式两边对 y 求导 xf ( xy) xf ( y) f ( x)令 y = 1,则有 xf ( x) xf (1) f ( x)

1 即 f ( x) f ( x) 4 x dx dx x f ( x) e 4e x dx C x[4ln x C ] 当 x 1, 时 f (1) C , 当x 1, y 1 时，

f (1) f (1) f (1), 得 f (1) 0, 由此得 C = 0 ,故所求函数为 f ( x) 4 x ln x.10

例5. 用不同的方法求解方程 y

6 x 3x y

y 6 3 x . 解法1 . 因方程为齐次方程 , y 3 y y 3 2 x x 令 y xu , 则方程变为2

3x 2 y 2 y23

(P345 例1(4))

3u 2u 3 dx du 6 3u du x u 2 4 x 2(3 3u u ) dx 3u 2u 3 2 4 1 d (3 3u u ) dx 2 4 3 (3 3u u ) 6u 4u 2 4 4 3 3u u x C 2 4 两边积分, 得 3 3u u x4 11 故原方程通解为 3x 4 3x 2 y 2 y 4 C

例5. 用不同的方法求解方程 y

6 x3 3x y 2 3x y 2 y2 3

(P345 例1(4))

x (6 x 2 3 y 2 ) 解法2 . y y (3x 2 2 y 2 )

ydy 6 x2 3 y 2 2 2 xdx 3x 2 y方程可变形为

d(y ) 6x 3y 2 2 d (x ) 3x 2 y 22 2 2

令 y 2 x 2 u , 将原方程化为可分离变量方程求解.12

解法3.3

将原方程变为微分形式2 2 3

(6 x 3x y ) d x (3x y 2 y ) d y 0 P Q 6x y , 故为全微分方程 y xu ( x, y )

(6 x3 3x y 2 ) d x (3x 2 y 2 y 3 ) d y (0,0) ( x, y )x

( x, y )