立体几何基础题题库251-300

高考立体几何基础知识题库

立体几何基础题题库251-300（有详细答案）

251. 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.

解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论. 证：用反证法.

假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵ b β，∴ P∈β.

又∵ c α，∴ P∈α. ∴ P∈α∩β而α∩β＝a.

∴ P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.

综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.

说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.

252. 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1和BD1的中点分别是E、F.

(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段；

(2)求异面直线AA1和BD1间的距离

.

解析：(1)连接ED1、EB，

则显然ED1＝EB＝a 2

又F为BD1之中点.

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∴ EF⊥BD1；

连接FA1，FA.

∵ F为正方体的中心，

∴ FA＝FA1，又E为AA1之中点，

∴ EF⊥A1A.

故EF为AA1与BD1的公垂线段.

(2)在RtΔEFD1中

22EF＝ED1 FD1＝52322a a a. 442

故AA1到BD1间的距离是2a. 2

评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.

253. 如图所示，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角

.

解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝11BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE22

1a,EA＝EB＝a,EF＝22就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝

12a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所EA2 (AB)2＝22

成的角为45°.

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说明 异面直线所成角的求法：

利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.

254. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足AMCNAQ＝＝MBNBQD＝CP＝k. PD

(1)求证：M、N、P、Q共面.

(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示) 解析：(1)∵ AMAQ＝＝k MBQD

∴ MQ∥BD，且AMk＝ AM MBk 1

∴ AMkMQ＝＝ ABk 1BD

kBD k 1∴ MQ＝

又 CNCP＝＝k NBPD

CNk＝ CN NBk 1∴ PN∥BD，且

∴ NPCNkk＝＝从而NP＝BD BDCBk 1k 1

∴，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面. (2)∵ 1BN1BM＝，＝ NCkkMA

∴ BN1BMBM1＝＝,＝ NCkBM MAk 1MA

∴ MN∥AC，又NP∥BD.

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∴ MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角.

∵ MNPQ是正方形，∴ ∠MNP＝90°

∴ AC与BD所成的角为90°，

又AC＝a，BD＝b，MNBM1＝＝ ACBAk 1

∴ MN＝1a k 1

1b,且MQ＝MN， k 1又 MQ＝

ka1b＝a，即k＝. k 1k 1b

说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.

255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线.

证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有b∥c或b、c异面两种可能.

假设b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b，这与已知a,b是异面直线矛盾.

所以b与c不能平行，又b、c不相交

所以b,c是异面直线.

256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么? 证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，这时A、B、C、D四点都在α上，由公理1知A、B、C、D α，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线.

257. 如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝

( ) A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值是4

A.15 17 B.1 2 C. 8 17 D. 3 2

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解析：过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1F＝D1F1，则ADF1F是平行四边形，∴FA∥DF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1E∥FA，则∠BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1＝DF1＝A1B1，4ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴ E1E＝A1B1， 4

又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1.

∴ E1E＝1A1B1，EB＝A1B1 24

E1E2 BE12 BE215在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝＝. 172 E1E BE1

∴ 应选A.

258. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( ) A.3 2 B. 10C.3 5 D.2

5

解析：由图所示，AM与CN是异面直线，过N作平行于AM的平行线NP，交AB于P，由定义可知∠PNC就是AM与CN所成的角.因ΔPBC，ΔPBN，ΔCBN皆为直角三角形，且BP＝1，4

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BN＝112125122512217222，BC＝1，故PN＝()+()＝，CN＝()+1＝，PC＝()+1＝，在2224164164

2PN2 CN2 PC2

ΔPCN中cos∠PNC＝，所以cos∠PNC＝，因此应选D. 52PN CN

259. 已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有( )

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

解析： 过P点分别作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′的夹角为 …… 此处隐藏：6195字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……