1-9 连续函数的运算与初等函数的连续性

高等数学上册 第一章 函数与极限课件 好东西,一起分享

第九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性

第一章

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一、四则运算的连续性定理1:若函数 f ( x ), g( x )在点 x0处连续, f ( x) 则 f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ), ( g ( x 0 ) 0) g( x ) 在点 x0处也连续.

即连续函数经过四则运算后还是连续的。例如 sin x, cos x在 ( , )内连续,sin x 故 tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续. cos x

即三角函数在其定义域内连续.

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二、反函数的连续性定理2:单调递增(递减)的连续函数必有 单调递增(递减)的连续反函数.例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 2 2 故 y arcsin x 在[ 1,1]上也是单调增加且连续.

同理 y arccos x 在[ 1,1]上单调减少且连续;

y arctan x, y arc cot x 在( , )上单调且连续.

反三角函数在其定义域内连续.

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可以证明指数函数 y a (a 0, a 1)x

在( , )内单调且连续. 对数函数 y log a x (a 0, a 1)

在(0, )内单调且连续 ;

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三、复合函数的连续性定理 3:如果 lim ( x ) u0 , 且函数 f ( u)在点u0x x0

连续, 则有 lim f [ ( x )] lim f ( u) f ( u0 ).x x0 u u0

令 ( x ) u

即

x x0

lim f [ ( x )] f [ lim ( x )].x x0

意义：如果f 是连续函数，求极限时可以把 极限符号与函数符号交换。

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ln(1 x ) . 例1 求 lim x 0 x解：原式 lim ln(1 x ) ( ln u是连续函数) x 01 x

ln[lim(1 x ) ] ln e 1. x 0

1 x

ln( 1 x ) ~ x (当x 0)由此可得

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例2

ex 1 求 lim . x 0 x则 x ln(1 t ),

解： 令 e x 1 t ,

当x 0时, t 0. t 原式 lim 1 (上例结果) t 0 ln(1 t )

e 1 ~ x(当 x 0)x

由此可得

ax 1 lim ln a . (利用a e lna) x 0 x

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定理4: 设函数 u ( x ) 在点 x0 连续, 函数 y f ( u) 在点 ( x0 ) 连续, 则复合函数 y f [ ( x )]在点x0 也连续.lim 证明： lim f [ ( x )] f [ x x ( x )] f [ ( x0 )].x x00

意义：连续函数经过复合运算后还是连续函数。

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四、初等函数的连续性★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域 内是连续的. ★ 指数函数 y a x (a 0, a 1) 在( , )内单调且连续; ★ 对数函数 y log a x (a 0, a 1)在(0, )内单调且连续 ;

★ 幂函数 y x e

ln x

y e , t ln x.t

在定义域内连续.

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结论：基本初等函数在定义域内是连续的. 基本初等函数在定义域内连续 一切初等函 连续函数经四则运算后连续 数在其定义 连续函数经复合运算后连续 区间内连续直接代入。 初等函数求极限：x x0

lim f ( x )

f ( x0 )

( x0 定义区间 )

例3

求 lim sin e x 1.x 1

解： 原式 sin e 1 1 sin e 1.

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定义：形如 u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0) 的函数称为 幂指函数.性质：如果lim u( x ) a 0, lim v ( x ) b, 则 lim u( x ) v ( x ) a b .证明: lim u( x ) v ( x ) lim e ln u( x ) v ( x )

x e ln x

e e

lim[lnu ( x ) v ( x )]

e ln[limu ( x )] limv ( x ) e bln a b

limln u ( x ) limv ( x )

a .

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3 错 解: 当x 0时, 1 2 x 1, . sin x 原式 1 1.

解: 原式

(当x 0时, u( x ) (1 2 x )

1 2x

6x e, v( x ) 6) sin x

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要点:连续函数经过四则运算后还是连续的. 单调的连续函数必有单调的连续反函数.

连续函数经过复合运算后还是连续函数. 如果f 是连续函数，求极限时可以把极限符号 lim lim 与函数符号交换: x x f [ ( x )] f [ x x ( x )].0 0

初等函数在定义区间内是连续的. 初等函数求极限： f ( x ) f ( x0 ) ( x0 定义区间 ) limx x0

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一些常用的等价无穷小量:当 x 0 时, sin x ~ x , tan x ~ x,1 2 1 cos x ~ x , 2

1 (1 x ) 1 ~ x , n

1 n

ln( 1 x ) ~ x ,

e x 1 ~ x , a x 1 ~ ln a x,