第3章 周期信号傅里叶级数的表示

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Signals and Systems

第3章 周期信号的傅里叶级数表示 章Fourier Series Representation of Periodic Signals

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本章内容： 本章内容：Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 系统的频域分析 Ⅲ. 傅里叶级数的性质

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本章的目录: 本章的目录:3.0 引言 3.1 历史回顾 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3.4 傅里叶级数的收敛 3.5 连续时间傅里叶级数性质 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 3.7 离散时间傅里叶级数性质 3.8 傅里叶级数与 傅里叶级数与LTI系统 系统 3.9 滤波 3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例 3.11 用差分方程描述的离散时间滤波器举例 3.12 小结

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3.0 引言 Introduction时域分析方法的基础： 时域分析方法的基础： 信号在时域的分解。 1) 信号在时域的分解。2) LTI系统满足线性、时不变性。 系统满足线性、 系统满足线性 时不变性。

从分解信号的角度出发， 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求： 足两个要求： 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 本身简单， 系统对它的响应能简便得到。 本身简单 系统对它的响应能简便得到 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 具有普遍性

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3.1历史的回顾 (A Historical Perspective) 历史的回顾 )任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多 任何科学理论, 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅里叶分析法， 今天我们将要学习的傅里叶分析法，也经历了曲 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时， 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人 反对，也有人认为不可思议。但在今天， 反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。

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傅里叶生平

1768—1830

1768年生于法国 1768年生于法国 1807年提出 年提出“ 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” 函数的级数来表示” 拉格朗日反对发表 1822年首次发表 年首次发表“ 1822年首次发表“热 的分析理论” 的分析理论” 1829年狄里赫利第一 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件

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傅里叶的两个最重要的贡献—— 傅里叶的两个最重要的贡献“周期信号都可以表示为成

谐波关系的正弦信 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示” 表示”——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点

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3.2 LTI系统对复指数信号的响应 系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to Complex Exponentials

z n 的响应 考查LTI系统对复指数信号 e 和 考查 系统对复指数信号st

e

st

h(t)∞

y (t )

zst

n

h( n )∞

y ( n)

由时域分析方法有， 由时域分析方法有，y(t ) = ∫ e ∞ s ( t τ )

h(τ )dτ = e

∫

∞∞

h(τ )e sτ dτ = H ( s)e sth(k ) z k = H ( z ) z n

y (n) =

k = ∞

∑

∞

z

(n k )

h(k ) = z

n

k = ∞

∑

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可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得 系统对复指数信号的响应是很容易求得 可见 的。这说明 求。 特征函数 (Eigenfunction) 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘 以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。 以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。 特征函数 系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对 应的特征值。 应的特征值。 特征值

e

st

和 z n 符合对单元信号的第一项要

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结论： 结论： 复指数函数

是一切LTI系统的特征函 e st 、 z n 是一切 系统的特征函

数。 (s) 、 ( z)分别是LTI系统与复指数信号相对 系统与复指数信号相对 H 分别是 H 应的特征值。 应的特征值。H ( s ) = ∫ h(t )e dt ∞ ∞ st

H ( z) =

k = ∞

h( n ) z n ∑

∞

只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 系统的特征 只有复指数函数才能成为一切 函数。 对时域的任何一个信号 x(t ) 或者 x( n) ,若能将 其表示为下列形式： 其表示为下列形式：x(t) = a es1t1

+ a2e + a3es2t

s3t

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利用系统的齐次性与叠加性 由于 e s1t → H ( s1 )e s1t

e s2t → H ( s2 )e s2t所以有s1t s2t s3t

e s3t → H ( s3 )e s3tx(t) = ∑ak esktkn 同理： 同理： x(n) = ∑ak Zk k

x(t) → y(t) = a1H(s1)e + a2H( …… 此处隐藏：3463字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……