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Signals and Systems

第3章 周期信号的傅里叶级数表示 章Fourier Series Representation of Periodic Signals

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本章内容： 本章内容：Ⅰ. 周期信号的频域分析 Ⅱ. LTI系统的频域分析 系统的频域分析 Ⅲ. 傅里叶级数的性质

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本章的目录: 本章的目录:3.0 引言 3.1 历史回顾 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3.4 傅里叶级数的收敛 3.5 连续时间傅里叶级数性质 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 3.7 离散时间傅里叶级数性质 3.8 傅里叶级数与 傅里叶级数与LTI系统 系统 3.9 滤波 3.10 用微分方程描述的连续时间滤波器举例 3.11 用差分方程描述的离散时间滤波器举例 3.12 小结

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3.0 引言 Introduction时域分析方法的基础： 时域分析方法的基础： 信号在时域的分解。 1) 信号在时域的分解。2) LTI系统满足线性、时不变性。 系统满足线性、 系统满足线性 时不变性。

从分解信号的角度出发， 从分解信号的角度出发，基本信号单元必须满 足两个要求： 足两个要求： 1.本身简单，且LTI系统对它的响应能简便得到。 本身简单， 系统对它的响应能简便得到。 本身简单 系统对它的响应能简便得到 2.具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 具有普遍性，能够用以构成相当广泛的信号。 具有普遍性

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3.1历史的回顾 (A Historical Perspective) 历史的回顾 )任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多 任何科学理论, 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 人不懈的努力而得来的, 其中有争论, 还有人为 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。 今天我们将要学习的傅里叶分析法， 今天我们将要学习的傅里叶分析法，也经历了曲 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时， 折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人 反对，也有人认为不可思议。但在今天， 反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。 析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。

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傅里叶生平

1768—1830

1768年生于法国 1768年生于法国 1807年提出 年提出“ 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” 函数的级数来表示” 拉格朗日反对发表 1822年首次发表 年首次发表“ 1822年首次发表“热 的分析理论” 的分析理论” 1829年狄里赫利第一 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件

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傅里叶的两个最重要的贡献—— 傅里叶的两个最重要的贡献“周期信号都可以表示为成

谐波关系的正弦信 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示” 表示”——傅里叶的第二个主要论点 傅里叶的第二个主要论点

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3.2 LTI系统对复指数信号的响应 系统对复指数信号的响应The Response of LTI Systems to Complex Exponentials

z n 的响应 考查LTI系统对复指数信号 e 和 考查 系统对复指数信号st

e

st

h(t)∞

y (t )

zst

n

h( n )∞

y ( n)

由时域分析方法有， 由时域分析方法有，y(t ) = ∫ e ∞ s ( t τ )

h(τ )dτ = e

∫

∞∞

h(τ )e sτ dτ = H ( s)e sth(k ) z k = H ( z ) z n

y (n) =

k = ∞

∑

∞

z

(n k )

h(k ) = z

n

k = ∞

∑

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可见LTI系统对复指数信号的响应是很容易求得 系统对复指数信号的响应是很容易求得 可见 的。这说明 求。 特征函数 (Eigenfunction) 如果系统对某一信号的响应只不过是该信号乘 以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。 以一个常数，则称该信号是这个系统的特征函数。 特征函数 系统对该信号加权的常数称为系统与特征函数相对 应的特征值。 应的特征值。 特征值

e

st

和 z n 符合对单元信号的第一项要

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结论： 结论： 复指数函数

是一切LTI系统的特征函 e st 、 z n 是一切 系统的特征函

数。 (s) 、 ( z)分别是LTI系统与复指数信号相对 系统与复指数信号相对 H 分别是 H 应的特征值。 应的特征值。H ( s ) = ∫ h(t )e dt ∞ ∞ st

H ( z) =

k = ∞

h( n ) z n ∑

∞

只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征 系统的特征 只有复指数函数才能成为一切 函数。 对时域的任何一个信号 x(t ) 或者 x( n) ,若能将 其表示为下列形式： 其表示为下列形式：x(t) = a es1t1

+ a2e + a3es2t

s3t

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利用系统的齐次性与叠加性 由于 e s1t → H ( s1 )e s1t

e s2t → H ( s2 )e s2t所以有s1t s2t s3t

e s3t → H ( s3 )e s3tx(t) = ∑ak esktkn 同理： 同理： x(n) = ∑ak Zk k

x(t) → y(t) = a1H(s1)e + a2H(s2 )e + a3H(s3 )e 即：y(t) = ∑ak H(sk )e kk s t

n y(n) = ∑ak H(Zk )Zk k

*问题：究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的 问题： 线性组合来表示？ 线性组合来表示？

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3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 一. 连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集: Φ k (t ) = {e jkω0t } 成谐波关系的复指数信号集 2π k = 0, ±1, ±2, ,其中每个信号都是以 k ω 0 2π 为周期的， 为周期的，它们的公共周期为 ，且该集合ω0

中所有的信号都是彼此独立的。 中所有的信号都是彼此独立的。 如果

将该信号集中所有的信号线性组合起来， 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，

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有 x (t ) =

k = ∞

∑

∞

a k e jk ω 0 t ,2π

k = 0, ± 1, ± 2

显然 x(t ) 也是以

ω

为周期的。该级数就是傅里 为周期的。该级数就是傅里

0

叶级数， 为傅里叶级数的系数。 叶级数， ak 称为傅里叶级数的系数。 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号， 这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号， 即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数 谐波分量。 谐波分量。 例 1:

1 jω0t 1 jω0t x(t) = cosω0t = e + e 2 2

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1 显然该信号中，有两个谐波分量， 显然该信号中，有两个谐波分量，a±1 = 为相应 2 分量的加权因子，即傅里叶系数。 分量的加权因子，即傅里叶系数。

例2: x(t) = cosω0t + 2cos3ω0t

1 jω0t jω0t j 3ω0t j 3ω0t = [e + e ] + e +e 2 在该信号中，有四个谐波分量， 在该信号中，有四个谐波分量，即 k = ±1 ± 3, ,时对应的谐波分量。 时对应的谐波分量。 傅里叶级数表明： 傅里叶级数表明：连续时间周期信号可以按傅里叶 级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。 级数分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。

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频谱( 二.频谱(Spectral)的概念 ) 中的每一个信号， 信号集 Φk (t ) 中的每一个信号，除了成谐波关 系外， 系外，每个信号随时间 差别仅仅是频率不同。 差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量(谐波分量) 在傅里叶级数中，各个信号分量(谐波分量) 间的区别也仅仅是幅度(可以是复数)和频率不同。 间的区别也仅仅是幅度(可以是复数)和频率不同。 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度， 因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用 线段的位置表示相应的频率。 线段的位置表示相应的频率。 的变化规律都是一样的， t 的变化规律都是一样的，

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分量 e

jω0t

可表示为1ω

1 jω0t cos ω0t = (e + e jω0t ) 表示为 21 2 1 2

ω0∞

ω0

0

ω0

ω

因此，当把周期信号x ( t ) 表示为傅里叶级数 因此，x (t ) =k = ∞

∑

ak e

jk ω 0 t

时，就可以将 x ( t ) 表示为 这样绘出的图 称为频谱图 称为频谱图

gggg a 3

a 2

a 1

a0

a1

a2

ω0 ω0

a3 gggg

ω

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随频率的分布表示出来， 频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来， 的关系。由于信号的频谱完全代表了信 即 ak ~ ω 的关系。由于信号的频谱完全代表了信 研究它的频谱就等于研究信号本身。因此， 号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这 频域表示法。 种表示信号的方法称为频域表示法 种表示信号的方法称为频域表示法

。 三.傅里叶级数的其它形式 傅里叶级数的其它形式 是实信号, 若 x(t )是实信号,则有 x (t ) = x (t ) ,于是∞ ∞ ∞ x (t ) = ∑ ak e jkω0t = ∑ ak e jkω0t = ∑ a k e jkω0t = ∑ ak e jkω0t k = ∞ k = ∞ k = ∞ k = ∞ ∞ *

∴ak = a

k

或

a = a k* k

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jθ 若令 ak = Ak e k ,则 a0 为实数。于是 为实数。

x(t ) =

k = ∞

∑

∞

Ak e e∞

jθk

jkω0t

=a0 + jkω0t

k = ∞

∑

1

Ak e

j ( kω0t +θk )

+ ∑ Ak e j ( kω0t +θk )k =1

∞

= a0 + ∑ [ A k ek =1

e

jθ k

+ Ak e

jkω0t

e ]jθ k

jθ k

Q a = a k* k

∴ Ak e

jθ k

= A k e

即： 表明

Ak = A k

θ k = θ k

ak 的模关于 k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。 偶对称， 奇对称。

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∴ x (t ) = a0 + ∑ [ A k ek =1∞

∞

jkω0 t

e

jθ k

+ Ak e

jkω0 t

e

jθ k

]

= a0 + 2∑ Ak cos(kω0t + θ k )k =1

——傅里叶级数的三角函数表示式 傅里叶级数的三角函数表示式 若令 ak = Bk + jCk 则x(t ) = a0 +k = ∞∞

( Bk + jCk )e jkω0t + ∑ ( Bk + jCk )e jkω0t ∑k =1

1

∞

= a 0 + ∑ ( Bk + jC k ) e jk ω 0 t + ( B k + jC k ) e jk ω 0 t k =1

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Q a = a k* k

∴ Bk jCk = B k + jC k

因此 B k = B k 即

Ck = C k

ak的实部关于k 偶对称，虚部关于k 奇对称。 偶对称， 奇对称。∞

将此关系代入， 将此关系代入，可得到

x (t ) = a0 + ∑ ( Bk + jCk )e jkω0t + ( Bk jCk )e jkω0t

= a0 + 2∑ [ Bk cos kω0t Ck sin kω0t ]k =1

k =1 ∞

——傅里叶级数的另一种三角函数形式 傅里叶级数的另一种三角函数形式

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四.连续时间傅里叶级数系数的确定 如果周期信号 x(t ) 可以表示为傅里叶级数∞

x (t ) =

k = ∞

∑aek

jkω0t

,

2π ω0 = T0

则有

x (t )e jnω0t =

k = ∞

∑

∞

a k e j ( k n ) ω0 t

对两边同时在一个周期内积分， 对两边同时在一个周期内积分，有

∫

T0 0

x (t ) e

jnω 0 t

dt =

k = ∞

∑

∞

a k ∫ e j ( k n ) ω 0 t dt0

T0