南邮通信原理a课件 第3章

通信原理1

通信原理第3章 随机过程

第3章 随机过程

3.1 随机过程的基本概念

什么是随机过程？

随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能 用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看： 角度1:对应不同随机试验结果的时间过程的集合。

第3章 随机过程【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输 出噪声波形 样本函数 i (t):随机过程的一次实现，是确定的时间函数。

随机过程： (t) ={ 1 (t), 2 (t), …, n (t)} 是全部样本函数的集合。 (t )

1 (t ) 2 (t )

n (t )

0

t

第3章 随机过程

角度2:随机过程是随机变量概念的延伸。

在任一给定时刻t1上，每一个样本函数 i (t)都是一个确定的 数值 i (t1),但是每个 i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{ i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。 换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同 时刻的随机变量的集合。

这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。

第3章 随机过程

3.1.1随机过程的分布函数

设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1) 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。 随机过程 (t)的一维分布函数：F1 ( x1 , t1 ) P[ (t1 ) x1 ]

随机过程 (t)的一维概率密度函数： F1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 , t1 ) x1

若上式中的偏导存在的话。6

第3章 随机过程随机过程 (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 随机过程 (t)的二维概率密度函数：

2 F2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) x1 x2

若上式中的偏导存在的话。 随机过程 (t) 的n维分布函数： P (t1 ) x1 , (t 2 ) x2 , , (t n ) xn

Fn ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , t n )

随机过程 (t) 的n维概率密度函数：

n Fn ( x1,x2, ,x n;t1,t2, ,t n ) f n ( x1,x2, ,x n;t1,t2, ,t n ) x1 x2 x n7

第3章 随机过程

3.1.2 随机过程的数字特征

均值(数学期望): 在任意给定时刻t1的取值 (t1)是一个随机变量，其均值E (t1 ) x1 f1 ( x1 , t1 )dx1

式中 f (x1, t1) - (t1)的概率密度函数

由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t, x1改为x,这样上式就变为E (t )

xf1 ( x, t )dx

第3章 随机过程E (t )

xf1 ( x, t )dx

(t)

的均值是时间的确定函数，常记作a ( t ),它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 : (t )

a (t ) 1 (t ) 2 (t )

n (t )

0

t

第3章 随机过程

方差

D[ (t )] E [ (t ) a(t )]2

方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。D ξ t E ξ 2 t 2a t ξ t a 2 t E[ξ 2 (t )] a 2 (t )

因为

E[ξ 2 (t )] 2a t E ξ t a 2 (t )

x 2 f1 ( x, t )dx [a(t )]2

均方值

均值平方

所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随 机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。10

第3章 随机过程

相关函数

R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]

x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2

式中， (t1)和 (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变 量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数B(t1 , t 2 ) E (t1 ) a(t1 )][ (t 2 ) a(t 2 )] [

式中 a ( t1 ) a ( t2 ) - 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) - (t)的二维概率密度函数。11

[ x1 a(t1 )][x2 a(t 2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2

第3章 随机过程

相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1 , t 2 ) R(t1 , t 2 ) a(t1 ) a(t 2 ) 若a(t1) = a(t2),则B(t1, t2) = R(t1, t2)R (t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t 2 )]

互相关函数

式中 (t)和 (t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1, t2)又称为自相关函数。

第3章 随机过程

3.2 平稳随机过程

3.2.1 平稳随机过程的定义

定义： 若一个随机过程 (t)的任意有限维分布函数与 时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和 所有实数 ,有f n ( x1 , x 2 , , x n ;t1 , t 2 , , t n ) f n ( x1 , x2 , , xn;t1 , t 2 , , t n )

则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。13

第3章 随机过程

性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的 推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 )

而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关： f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; )

数字特征：E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a

R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t1 )]

x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )

可见，(1)其均值与t无关，为常数a; (2)自相关函数只与时间间隔 有关。14

第3章 随机过程

数字特征：E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a

R(t1 , t 2 ) E[ (t1 ) (t1 )]

x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )

可见，(1)其均值与t 无关，为常数a ;

(2)自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足(1)和(2)的过程定义 …… 此处隐藏：1159字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……