第66题空间几何体的外接球与内切球-2018之高中数学理黄金100题系列含解析精

时间：2025-05-14

第66题空间几何体的外接球与内切球

I ．题源探究·黄金母题【例1】一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为acm

求球的体积．

【解析】设球的半径为R 知，正方体的体对角线为球的直径，所以2R =，即R =，所以球的体积为343V R π=＝34)3π3． II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2017课标3理8】已知圆柱的高为1，底面的圆周在直径为2体积为 A ．π B ．3π4 C ．π2 D ．π4 【答案】B

11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径 2r ==体积是22314V r h πππ==⨯⨯=⎝⎭，故选B .

334439

()3322

R πππ==，故选B ．【例5】【2015高考新课标2，理9】已知A,B 是球O

面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C

【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面用源。的直径端点时，三棱锥错误！未找到引用源。积最大，设球错误！未找到引用源。的半径为到引用源。，此时错误！未找到引用源。，故到引用源。，则球错误！未找到引用源。的表面积为未找到引用源。，故选C ．

【例6】【2014全国大纲卷】上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，( ) A ．

814π B ．16π C ．9π D ．274

【答案】A

半径为R ，球心为O ，正四棱锥底面中心为为E ,则OE 直

棱

锥

底

面

，

4O E R =-,

所2

242R R -+

=（）22

2)R =，解得94R =

，的表面积2

4S R π==

814

，故选A ．【例7】【2013新课标I 卷】如图，8cm ，将一个球放在6cm ，如果不计容器的厚度，则球 )

B ．3

866

3cm 3 D ．3

20483cm R ，则由题知球被正方体4，球心到截面圆的距离为

222(2)4R R =-+，解得5R =，∴

3453

π⨯=3

5003cm ，故选A ．人教版A 版必修二第28页练习第2本题是球的正方体构成的组合体问

根据所涉及到几何体组合的结构特

【命题意图】本类题主要考查空间几何体结构特征、的表面积与体积的计算，以及考查逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力、方程思想的应用．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，不会渗透于解答时中，难度中等或中等偏上．

【难点中心】求组合体的表面积与体积，主要两类难点：（1）不能作出或想象两个几何体间的组合方式与结构特征；（2）不能正确建立两个几何量间的关系．

III ．理论基础·解题原理

考点一棱体的表面积

计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n 棱柱的展开图由两个全等的n 边形与n 个平行四边形组成；n 棱锥的展开图由一个n 边形与n 个共顶点三角形组成；n 棱台的展开图由两个相似的n 边形与n 个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为a 的正方体的表面积26S a =正，长、宽、高分别为a b c 、、的长方体的表面积()2S ab bc ca =长＋＋．

考点二圆体的表面积

圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长．

考点三柱体的体积

柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2V r h π=柱体．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的．

考点四锥体的体积

锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高h 的积，即13V Sh =

圆锥．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是213

V r h π=圆锥．考点五球的体积与表面积根据球的表面积公式24S r π=与体积公式343V r π=

，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R ．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比．

IV ．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这在高考中常常以单独考查的方式出现在选择题与填空题中，在解答题中通常不会出现．

【技能方法】

1．当给出的几何体比较简单时，可直接通过寻求两个几何体的几何量间的关系进行求解；