空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系

空间直线的位置关系

空间两条直线的位置关系

一、空间两直线的位置关系观察正方体的图形，并指出直线AB、BB’、 CD’与直线C’D’的位置关系如何？ 1、相交——有且只有一个公共点； A' 如：CD’与C’D’是相交关系。2、平行——在同一平面内，没有公共点； 如：AB与C’D’是平行关系。A B

D'B' D

C'

C

3、异面——(既不相交又不平行)不在任何一 平面内，没有公共点； 如：BB’与C’D’是异面直线。

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二、平行直线：【公理4】平行于同一直线的两条直线平行。 表示为a∥b,b∥c =>a∥c。(请举例)(书例 1) 例:已知四边形ABCD是空间四边形，E、 H分别是AB、AD的中点，F、G分别是 CF CG 2 边CB、CD上的点，且 CB CD 3 求证：四边形EFGH是梯形。

空间两条直线的位置关系

初中我们学过，如果一个角的两边分别平行另一个 角的两边，那么这两个角的关系如何？引申：如果在空间的两个角的两边分别平行，且方 向相同那么这两个角的关系又是什么样的呢？ 〖等角定理〗如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行，且方向相同，那么这两个角相等。 〖书中定理〗如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行，那么这两个角相等或互补。 〖推论〗 :如果两条相交直线和另两条相交直线分 别平行，那么这两组相交直线所成的锐角(或直角) 相等。

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三、异面直线：(1)异面直线的定义： (既不相交又不平行)不在任何一 平面内，没有公共点。(2)异面直线的画法：

b α a

b

b a

a

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命题：连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 (书p10例2) 异面直线的判定 找一找CD’ 的异面直线D' A' D A B' C B

C'

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如何研究异面直线？ 异面直线所成的角的定义已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线

a // a, b // b , a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关， a , b 所成的锐角 把 (或直角) 叫异面直线 a , b王新敞奎屯 新疆

a b

b′ O

所成的角(或夹角) .为了简便，点 O 通常取在异面 直线的一条上王新敞奎屯 新疆

( 异面直线所成的角的范围：0,条异面直线 a , b 垂直，记作 a b .

如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直.两

2

]

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空间两条直线所成角 平行：规定所成角大小为零 相交 异面 空间两条直线所成角的范围： [0, ]

2

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判断下列命题的真假，真的打“√” ,假的打“×” (1)平行于同一直线的两条直线平行 . √ (2)垂直于同一直线的两条直线平行 X . √ (3)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只

有两条.X (5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等X (6) 若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成 的锐角(或直角)相等. √ (7)两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 X (8)平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 √

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垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？ 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使 它们成为(1)平行直线；(2)相交直线；(3) 异面直线.

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例2

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如图，已知不共面的直线 a, b, c 相交于 O 点， M , P 是直线 a 上新疆

的两点， N , Q 分别是 b, c 上的一点 求证： MN 和 PQ 是异面直线

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a M O N P Q b c

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如何判断两直线异面 图形上的判断 证明(反证法)

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例题3:已知立方体的棱长为1,求下列 异面直线所成的角的大小：1)AB与B’C’ 2)A’B与CC’ 3)AB’与BC’ 若B’C’中点为M 4)BM与A’C’ 若CC’中点为N 5)BM与DN

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如何求异面直线所成角 必须写成那个角是异面直线所成角或其补角 求角的大小时转化为平面问题(一般是三角 形)去解决

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例 4 已知 E , F , G, H 分别是空间四边形四条边 AB, BC, CD, DA 的中点，王新敞奎屯 新疆

(1)求证四边形 EFGH 是平行四边形 (2)若 AC⊥BD 时，求证： EFGH 为矩形；王新敞奎屯 新疆

A E B F C H D G

(3)若 BD=2,AC=6,求 EG HF ;2 2

(4)若 AC、BD 成 30º角，AC=6,BD=4,求四边形 EFGH 的面积；

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例 5 正四面体 ABCD 中， 各边边长为 2, , E 分别是 AB, CD 的中点， F王新敞奎屯 新疆

求下列异面直线所成的角的大小 (1) AD, BE (2) AD, BC *(3) CF , BE

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例 6 在长方体 ABCD A B C D 中，已知 AB=a,BC=b,

AA =c(a>b),求异面直线 D B 与 AC 所成角的余弦值

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