《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》培优

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

【一元二次方程根的判别式】

b 2对于一元二次方程ax bx c 0 a 0 的求根公式x

=，我们称b 4ac叫根的判别2a2

式，通常用字母 “△” 表示，即△=b 4ac。

（1） 当b 4ac 0时，方程

（2） 当b 4ac 0时，方程

（3） 当b 4ac 0时，方程

特别提醒：若一元二次方程ax bx c 0有实数根，则b 4ac。在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，别忘了要加上二次项系数不为零这个限制条件.

练习：

1、已知方程x 3x k 0有两个不相等的实数根，则。

2、 关于x的一元二次方程kx 2x 1 0两个不相等的实数根，则k的取值范围是。

3、在下列方程中，有实数根 的是（ ）

2（A）x 3x 1 0 （B

1 （C）x 2x 3 0 （D）222222222x1 x 1x 1

4、当m满足何条件时，方程mx2 2 m 1 x m 1 0有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？

5、关于x的方程mx2 2 m 2 x m 5 0无实根，试解关于x的方程 m 5 x2 2 m 2 x m 0。

6、已知关于x的一元二次方程x 4 m 1 x 2m 1 0，求证：不论m为任何实数，方程总有两个2

不相等的实数根。

【一元二次方程根与系数的关系】

b b2 4ac 如果一元二次方程ax bx c 0 a 0 存在实数根，由求根公式得x1=，2a2

b b2 4acx2=，因此有两根之和x1 x2 _________，两根之积x1 x2 __________.这就是一元2a

二次方程的根与系数的关系，又称为韦达定理。

特别提醒：

（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.

（2）在利用韦达定理解题时，一定要记住：一是方程要为一元二次方程，二是方程要存在实数根才

2有韦达定理。即：要考虑 ①二次项系数a 0；②根的判别式b 4ac 0.

练习：

1、根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：

⑴ x-3x-1=0 ⑵ 2x+3x-5=0 ⑶

222（4）x-6x-15=0 （5）3x+7x-9=0 （6）5x-1=4x

2、以3和-2为根的一元二次方程是( )

A.x2+3x-2=0 B.x2-3x+2=0 C.x2+x-6=0 D.x2-x-6=0

3、设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，不解方程,求下列代数式的值：

（1）(x1+1)(x2+1) （2）x12+x22

2212x 2x 0 3

（3）

11 （4）(x1-x2)2 x1x2

4、一元二次方程x2-3x+1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值是( )

A．3

B．-3 1C． 3 1D． 3

5、 设x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实根，且8 x1-2 x2=7，则m的值是_______.

6、已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+m+2=0．

(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；

(2)若方程的两实数根之积等于m2-9m+2

7、阅读下列解题过程：

已知：方程x2+3x+1=0的两个根为α、β

解：∵ △=b2-4ac=32-4×1×1=5>0

∴ α≠β …… (1)

由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3， αβ=1 …… (2)

3 3 …… (3) 1阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程.

8、关于x的一元二次方程x kx 4k 3 0的两个实数根分别是x1,x2，且满足x1 x2 x1x2，则k的值为（ ）（A） 1或

9、已知 , 是关于x的一元二次方程x 2m 3 x m 0的两个不相等的实数根，且满足222233 （B） 1 （C） （D）不存在 44

1

1 1，则m的值是 （ ）（A）3或-1 （B）3 （C）1 （D）-3或1

【作业】

1、如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是

2、求证：无论k取何值，关于x的方程x2+kx-k-2=0一定有两个不相等的实数根.

3、关于x的一元二次方程2x 2x 3m 1 0有两个实数根x1,x2，且x1x2 x1 x2 4，则m的取值范围是（ ）

（A）m

4、若实数a、b满足a2—7a+2=0和b2—7b+2=0,则式子251551 （B）m （C）m （D） m 32332ba 的值是. ab

5、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．

（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）若x1，x2

是原方程的两根，且x1 x2 m的值，并求出此时方程的两根．．