《机械工程测试技术基础》(第三版,熊诗波等主编)课后答案

机械工程测试技术基础第三版课后题答案

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|Cn|—ω ；φn—ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：x(t)

n

Ce

n

jn 0t

;n 0, 1, 2, 3,

式中： T0T0

0 11 jn t jn t jn 0t0022 Cn x(t)edt ( A)edt AedtTT0 0T0 20T0 2

T0

2

1 A jn 0t 1 A jn 0t ee T jn T jn T0 00 0 0 0

2

jAjA1 jn Ajn

1 cosn e e j

n n 2n

2A j;n 1, 3, 5,

n n 2, 4, 6, 0;

所以：

2A jn 0t

x(t) ;n 1, 3, 5, 7, j e

n n

幅值频谱：

2A22

Cn nR CnI ;n 1, 3, 5,

n

相位频谱： 2A

;n 1,3,5, CnI 2 n arctg arctg

CnR0 ;n 1, 3, 5, 2

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x(t)=x0sinωt的绝对均值μ|x |和均方根值x rms

解：

T 1T02x2

x limx(t)dt x0sin tdt 0;式中：T0

T 0 T00

1T021T0x02

x x(t)dt xsin dtdt rms0 T00T002

1.3求指数函数 x ( Ae t; ( 0 ; t 0 ) 的频谱。 t) 解：

j2 ft t j2 ft

0

X(f) x(t)edt

Ae e

A

dt

j2 f

1.4求符号函数（题图1-1a）和单位阶跃函数（题图1-1b）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:

令:

x1(t) lime

0

t

x(t);

X1(f) x1(t)e j2 ftdt

0 t t

j2 ft lim e( 1)edt ee j2 ftdt 0 0

1 j f

2)单位阶跃函数的频谱:

2

0

x(t) lime

t

x(t)

j2 ft

;

t1 j2 ft dt lim eedt 0 0 j2 f

22

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.5求被截断的余弦函数cosω0t（题图1-2）的傅立叶变换。

cos 0t;t T x(t)

t T 0;

解：

T

j2 ft X(f) x(t)edt cos2f0te j2 ftdt T

T1 j2 f0tj2 f0t j2 ft

e eedt

T2

sin(f f0)2Tsin(f f0)2T

T

(f f0)2T (f f0)2T

Tsinc 1 sinc 2

X(f) x(t)e

t

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b）： x ( e sin 0 t ; ( 0 , t t)0 ) 的频谱 解：

j2 ft

j2 ft t

0

j2 f0tj2 f0t j2 ft t

00

1.7设有一时间函数f(t)及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cosω0t ，(ω0>ωm)。

在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦型振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm时将会出现什么情况？

j2 ft j2 ft解：

0

j2 f0tj2 f0t j2 ft

00

当ω0<ωm时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x(t)=x0sin（ω0t+φ）的均值μx 和均方值φx2和概率密度函数p(x)

X(f) x(t)edt

e

sin2 fte

dt

j

e e eedt

2

j 11

2 j2 (f f) j2 (f f)

X(f) x(t)e

dt

f(t)cos2 ft e

dt

1

f(t) e 2

e

e

dt

11

F(2 f 2 f) F(2 f 2 f)22

解：将x(t)=x0sin（ω0t+φ）写成（ω0t+φ）=arcsin(x(t)/ 等式两边对x求导数：

x0)

1 dtx011

dx 222

x x(t)0 x(t) 00

x 0 1 Tx 12 tp(x) limlim lim x 0 x T T x 0 xT

2dt1 22Tdx x0 x(t)

2.2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s，2s，5s的正弦信号，问幅值

误差将是多少？

解：H

1j 1

1

1Y 0.35 j 1X

1 0.7

7

2

A

0.35 2

当T=1s时，A 1 0.41，即AY 0.41Ax，误差为59% 当T=2s时，A 2 0.67，误差为33% 当T=5s时，A 3 0.90，误差为8%

2.3求周期信号x t 0.5cos10t 0.2cos100t 45，通过传递函数为H s

1

0.05s 1

的装置后所得到的稳态响应。

解： 利用叠加原理及频率保持性解题

x t 0.5sin10t 90 0.2sin100t 45

A

11 2

1 0.00 52

， arctg 0.005

1 10，A 1 1， 1 2.86

x t1 0.5 1 sin10t 90 2.86 ，

2 100 ，A 2 0.89 ， 2 26.57

y t2 0.2 0.89 sin100t 26.57 45

y t 0.5sin10t 87.14 ( 0.178)sin100t 18.43

2.7将信号cos t输入一个传递函数为H s 在内的输出y t 的表达式。

解： x t cos t sin t 90 H s

1

的一阶装置后，试求其包括瞬态过程2s 1

11

，A ， arctg

2 s 1 y t

1 1 22

sin t 90 arctg cos t arctg

=

2.8求频率响应函数

3155072

的系统对正弦输入2

1 0.01j 15775 1376j6

x t 10sin 62.8t 的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式 H

j j 12

a n2

2 nj

2n

2

1256 1

2 22

0.01j 1 2 1256 j 1256 ∴ A

1 62.8 0.012

1

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