2015高中数学总复习课件：抛物线

1.抛物线的定义:平面内到一定点F的距 离与到一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线 l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 (1)方程y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)叫 做抛物线的标准方程，其中“±”号决定抛物 线的开口方向.

(2)抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是(p 准线方程x=2 p ,开口向右； 2

,0),

抛物线y2=-2px(p>0)的焦点坐标是(p 准线方程x= ,开口向左； 2 p 准线方程y=- ,开口向上； 2

p ,0), 2 p ), 2

抛物线x2=2py(p>0)的焦点坐标是(0,

抛 物 线 x2=-2py ( p>0 ) 的 焦 点 坐 标 是p p (0,- ),准线方程y= ,开口向下. 2 2

(3)抛物线y2=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦p 点F的距离 MF x0 ; 2

抛物线y2=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点p F的距离 MF x0 . 2

3.抛物线的几何性质 (1)抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只 有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线 的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的 距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离 心率，其值为1. (2)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), p 则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ，顶点 2 p 到准线的距离 ，焦点到准线的距离为p.2

(3) 已知过抛物线 y2=2px(p>0) 焦点的直线 交抛物线于 A、B两点，则线段 AB称为焦点弦，

设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB =x1+x2+p或2p 2, AB ( α 为直线 AB 的倾斜角 ) , y y =p 2 1 2 sin 2 x1x2= p ,AF x1 p ( AF 叫做焦半径). 2 4

(D)

3 2 1.已知抛物线 y x , 则它的焦点坐标是 4

3 0, ) A.( 16 1 C. ( ,0 ) 3

在y轴上，其坐标为(0, ),选D. 3 易错点：研究抛物线的几何性质时， 方程必须是标准方程.

3 ( ,0 ) B. 16 1 D. (0, ) 3 4 2 抛物线的标准方程为 x y, 焦点 3 1

2.若抛物线 y 2 px 的准线过双曲线2

2 y 2 x 1 的左焦点，则p的值为( A ) 3

A.4 C.2

B.-4

D.-2 双曲线y x 1 32 2

的左焦点为p x , 2

(-2,0),抛物线y2=2px的准线方程为p 所以有 2,所以p=4,选A. 2

3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4, 则点A与抛物线焦点F的距离为( D ) A.2 B.3

C.4

D.5

解法1:y=4代入x2=4y,得x=±4,

所以A(±4,4),焦点坐标为(0,1),由两点间距离公式知距离为2 2 ( 4 ) ( 4 1 ) 25 5.

解法2:抛物线的准线方程为y=-1,所以A 到准线的距离为5.又因为A到准线的距离与A 到焦点的距离相等，所以距离为5,选D.

1 的标准方程为 x y或y 2 4 x . 22

4.已知抛物线过点P(-1,2),则抛物线

1 my,因为过点P(-1,2),所以m= ,方程 2 1

当焦点在y轴上时，方程可设为x2=

为x2= y;当焦点在x轴上时，方程可设为2

y2=nx,因为过点P(-1,2),所以n=-4

,方程

为y2=-4x.填x2=

1 y或y2=-4x. 2

易错点：求抛物线的标准方程，应分

析焦点所在的位置.

5.已知过点M(2,2)的直线l与抛物线 C:y2=4x交于A,B两点，且M是线段AB的 中点,则弦长 AB = 4 2 . 显然直线l的斜率必存在，设l: y-2=k(x-2), y-2=k(x-2) k 则由 2 2-y+2-2k=0 ,消去 x 得 y y =4x,4

设A(x1,y1),B(x2,y2),M是线段 AB的中点，4 所以 y1 y2 4, 得k=1, k 1

则

4

y2-y=0,得y=0或y=4.

所以A(0,0),B(4,4),

所以 AB 42 42 4 2, 填 4 2.

重点突破：抛物线的定义及其应用例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是

抛物线上的动点，又点A(3,2),求 PA PF 的最小值，并求取最小值时点P的坐标. 由定义知，抛物线上点 P 到焦 点F的距离等于点P到准线l的距离，求 PA PF 的问题可转为求 PA d 的问题.

将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x ,得 y=± 6 . 因为 6 >2,所以A在抛物线内部. 为 d,1 设抛物线上的点P到准线l:x=- 的距离 2

PA PF PA d, 当 PA⊥l 7 时，PA d 取到最小，为 .此时点P(2,2). 2 7 即 PA PF 的最小值为 ，且P(2,2). 2

由定义知

重视定义在解题中的应用， 灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与 到准线的距离的等价转化，是解决抛物 线焦点弦有关问题的主要途径.