2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破13 空间线面位置关系的推理与证明

题13 空间线面位置关系的推理与证明

(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.

证明 (1)因为ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以

CC1⊥平面ABC，

又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，

CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.又AD 平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，所以A1F∥平面ADE

.

本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问．

首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断．其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答．高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，

以及平面与平面平行或垂直的判定

定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述．

必备知识

平行关系的转化

两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．

解决平行问题时要注意以下结论的应用

(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面． (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交． (4)平行于同一条直线的两条直线平行． (5)平行于同一个平面的两个平面平行．

(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．

垂直关系的转化

与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．

在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．

必备方法

1．证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑．

2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直． 3．使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题．

4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法．

5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．

空间点、线、平面之间的位置关系

此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档．

【例1】 如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠

BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE，G、H分别为FA、FD的中点．

1212

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ [审题视点] [听课记录]

[审题视点] 要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可．

1(1)证明 由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GHAD.

21

又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．

2(2)解 C、D、F、E四点共面．理由如下：

1

由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.

2

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、

E四点共面．

法二 由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.

(1)证明 设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得

A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)， D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)， H(0，b，c)．

→→→→所以GH＝(0，b,0)，BC＝(0，b,0)，于是GH＝BC. 又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形． (2)解 C，D，F，E四点共面． 理由如下：

→→

由题设知F(0,0,2c)，所以EF＝(－a,0，c)，CH＝(－a,0，c)， →

EF＝CH，又C EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．

解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：

(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和

→

性质定理逐项判断来解决问题；

(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某 …… 此处隐藏：5193字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……