圆锥曲线(解析几何)知识点总结、例题分析和基础练习

圆锥曲线(解析几何)知识点总结、例题分析和基础练习

圆锥曲线

椭圆知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2|F1F2|的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a |F1F2|表示椭圆；2a |F1F2|表示线段F1F2；2a |F1F2|没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

xy3．常用结论：（1）椭圆2 2 1(a b 0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两点，ab

则 ABF2的周长=

22xy（2）设椭圆2 2 1(a b 0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线交ab

椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ|

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例题分析

（求椭圆的标准方程一定要注意焦点的位置，先根据焦点的位置确定方程的形式，在根据

c2 a2 b2及已知条件确定

、

的值，进而写出方程）

（要求掌握椭圆的简单几何性质，因此要准确把握和灵活应用这些性质来解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题型，必须熟练地掌握）

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（焦点三角形面积问题是解析几何中一种常见的问题，改变一下问题的结构形式，将其设计成一个条件开放性问题，思考与训练的价值是非常大的，本题难点之一是确定焦点所在位置，考察了分类讨论的思想）

课堂巩固练习

1. 已知椭圆7x2 16y2 112 0上有一点P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离 为。

x2y2 1的离心率e 2．若椭圆，则m值。

55m

x2y2

3．（书本P28习题3改编）已知F1,F2为椭圆2 2 1(a b 0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦

ab

AB，若△AF1B的周长为16

，椭圆的离心率为e ，则椭圆的方程为。

x2y2

4．椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M123

的纵坐标是。

x2y2

5．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22＝1(a＞b＞0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径

ab

2 a

作圆M.若过点P 0 所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为______．

c

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6．以椭圆

xy 1(a b 0)的左焦点F( c,0)为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的22ab

22

两点，则该椭圆的离心率的取值范围是。

7．已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同

侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。

x2y2

8． 椭圆 1的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当 F1PF2为钝角时，求P点横坐标的

94

取值范围。

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9．（书本P297改编）已知定点A、B间的距离为

2，以B为圆心作 半径为P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直 线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C． 建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线。

10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，点D在边OA上，满足OD=a. 分别以OD、OC为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD. 直线l：y=－x+b与椭圆弧相切，与OA交于 点E.

（1）求证：b2 a2 1；

（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；

（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．

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参考答案

1. 已知椭圆7x2 16y2 112 0上有一点P到右焦点的距离是5，则它到左准线的距离为

x2y225

2．若椭圆，则m 。 1的离心率e

55m3

x2y2

3．（书本P28习题3改编）已知F1,F2为椭圆2 2 1(a b 0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦

ab

x2y2AB，若△AF1B的周长为16

，椭圆的离心率为e ，则椭圆的方程为 1。

164

x2y2

4．椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M

123

的纵坐标是 2

x2y2

5．若抛物线y 2px的焦点与椭圆 1的右焦点重合，则p的值为4。

62

x2y2

6．以椭圆2 2 1(a b 0)的左焦点F( c,0)为圆心，c

为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的

ab

两点，则该椭圆的离心率的取值范围是。

2

7．（书本P32练习5改编）已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。

解：由题意设椭圆的半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c(a b 0,c

0)

a 2c

a c a

b x2y2x2y2

椭圆的标准方程为 1或 129912

x2y2

1的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当 F1PF2为钝角时，求P点横坐标的8． 椭圆

94

取值范围。

设P到左焦点F1的距离为d1，P到右焦点F2的距离为d2，a2PFc

P(x,y) d1 x-(-),1 e , |PF1| a ex

d1ca

解：由题意得a 3，c ，e

同理得|PF2| a ex

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