高数论文——二重积分的应用

二重积分的应用

电自092班 —张凯强 0902100202

摘要：重积分是微积分学中的主要概念之一，许多物理、几何中的量都要用它来描述和

计算。本文首先介绍定积分应用中的元素法，从而利用重积分的元素法来讨论重积分在几何物理上的一些应用。

关键词：二重积分的应用 元素法 前言：

一、 元素法

二、 二重积分在几何问题中的应用 三、 二重积分在物理问题中的应用

把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.

若要计算的某个量U对与闭区域D具有可加性（即当闭区域D分成许多小区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），相应地部分量可近似地表示为f（x，y）dδ的形式，其中（x，y）在dδ内。这个f（x，y）dδ称为所求量U的元素，记为dU,所求量的积分表达式为U=∫∫f（x，y）dδ。

几何应用：

曲面和面积

设曲面S由方程

z f(x,y)给出,Dxy为曲面S在xoy面上的投影区域,函数

f(x,y)在Dxy上具有连续偏导数fx(x,y)和fy(x,y),现计算曲面的面积A。

在闭区域点

Dxy

上任取一直径很小的闭区域d (它的面积也记作d ),在d 内取一

P(x,y),对应着曲面S上一点M(x,y,f(x,y)),曲面S在点M处的切平面设为

T。 以小区域d 的边界为准线作母线平行于z轴的柱面, 该柱面在曲面S上截下一小

片曲面,在切平面T上截下一小片平面,由于d于那一小片曲面面积。

曲面S在点

的直径很小,那一小片平面面积近似地等

M处的法线向量( 指向朝上的那个 )为

n { fx(x,y), fy(x,y),1}

它与z轴正向所成夹角

的方向余弦为

cos

1

2

fx2(x,y) fy(x,y)

dA

而

d cos

所以

2

dA fx2(x,y) fy(x,y) d

这就是曲面S的面积元素, 故

A fx2(x,y) fy2(x,y)d

Dxy

A

故

Dxy

2

z z

1 dxdy x y

2

222222x y z ax y ax(a 0) 内部的面积。【例1】求球面含在柱面

解:所求曲面在

xoy面的投影区域

Dxy {(x,y)|x2 y2

ax}

222z a x y曲面方程应取为 , 则

zx

xa x y

2zx2

2

2

,

zy a

ya2 x2 y2

z2y

a2 x2 y2

曲面在

xoy面上的投影区域Dxy为

据曲面的对称性,有

A 2

Dxy

aa x y

acos

2

2

2

dxdy

2 d

2

aa r

2

2

rdr

2

2

2a a2 r2

acos 0

d

2

2a (a asin )d

2

2

4a (a asin )d

2

2a2( 2)

若曲面的方程为

x g(y,z)或y h(z,x),可分别将曲面投影到yoz面或

zox面,设所得到的投影区域分别为Dyz或Dzx,类似地有

A

或

Dyz

x 1

y

2

x dydz z

2

2

A

Dzx

y 1

z

2

y dzdx x

物理应用

一、平面薄片的重心

1、平面上的质点系的重心

其质点系的重心坐标为

Mym

mixi

,

n

i 1

2、平面薄片的重心

mi

M m

miyi

i 1

n

mi

设有一平面薄片,占有假定

xoy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为 (x,y),

(x,y)在D上连续,如何确定该薄片的重心坐标(x,y)。

这就是力矩元素,于是

Mx y (x,y)d ,

D

My x (x,y)d

D

m (x,y)d

又平面薄片的总质量

D

从而,薄片的重心坐标为

Mym

x (x,y)d

(x,y)d

D

,

M

m (x,y)d

D

y (x,y)d

特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则

11

x xd ,y yd

ADAD

重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。

(A d

D

为闭区域D的面积

)

十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的

【例2】设薄片所占的闭区域D为介于两个圆r(0

acos ,r bcos

a b)之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。

解: 由D的对称性可知:

y 0

bcos

A d d rdr

D

2

4

(b2 a2)

acos

2

2

bcos

2

r cos dr

My xd d

D

而

2

acos

2

bcos

2

13 1 rcos d (b3 a3)cos4 d 3 3 acos

2

2

2

232(4 1)!! 3

(b a) cos4 d (b3 a3) 334!!2 0

8

(b3 a3)

b2 ba a2

x

A2(b a) 故

二、平面薄片的转动惯量

1、平面质点系对坐标轴的转动惯量

设平面上有n个质点, 它们分别位于点质量分别为

My

(x1,y1),(x2,y2), ,(xn,yn)处,

m1,m2, ,mn。

y轴的转动惯量依次为

n

n

设质点系对于x轴以及对于

Ix yimi

i 1

2

,

Iy x2mi

i

i 1

2、平面薄片对于坐标轴的转动惯 …… 此处隐藏：855字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……