高三数学一轮复习 第七章 第六节 空间向量及其运算课件 理 新人教A版

第六节

空间向量及其运算

1.空间向量大小和方向 在空间中，具有_______________的量叫做空间向量， 其大小叫做向量的长度或模. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b≠0),

λb a∥b 存在λ∈R,使a=______.

(2)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与

向 量 a , b 共 面 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 对 (x , y) , 使 p = xa+yb ________.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面， 那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y, xa+yb+zc z}使得p=____________.

3.两个向量的数量积

(1)非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b=λ(a·b); ②交换律：a·b=b·a; ③分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.

4.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量表示 数量积 共线 垂直 模 a· b a=λb(b≠0) a· b=0 (a≠0,b≠0) |a| 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 _________________a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 _______________________ a1b1+a2b2+a3b3=0 __________________2 a2+a2+a2 1 3 _______________

夹角

cos〈a,b〉= 〈a,b〉(a≠0, a1b1+a2b2+a3b3 b≠0) a2+a2+a2· b2+b2+b2 1 2 3 1 2 3 ________________________

1.(a·b)·c=a·(b·c)成立吗？ 【提示】 不一定成立.∵(a·b)·c表示一个与c共线的

向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，又c与a不一定共 线，∴上式不一定成立.

2.若a,b是平面α内的两个不共线向量，c=xa+yb,则表示c的有向线段与平面α是什么关系？

【提示】α内.

表示向量c的有向线段与平面α平行或在平面

1.(人教A版教材习题改编)已知空间四边形OABC中， → → → OA =a, OB =b, OC =c,点M在OA上，且OM=2MA,N → 为BC中点，则MN=( 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2 ) 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2

【解析】 如图所示， → → → → MN=MA+AB+BN 1→ → -OA)+1BC → = OA+(OB → 3 2 → -2OA+1(OC-OB) → → → =OB 3 2 1→ 2→ 1→ 2 1 1 = OB- OA+ OC=- a+ b+ c. 2 3 2 3 2 2【答案】 B

2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则λ与μ的值可以是( ) 1 1 1 A.2, B.- , 2 3 2 C.-3,2 D.2,2

【解析】 ∵a∥b,∴b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ +1,0,2), 6=k(λ+1) λ=2 λ=-3 ∴ 2μ-1=0 ,解得 1 或 1 . μ=2 μ=2 2λ=2k

【答案】

A

3.已知a=(1,2,-2),b=(0,2,4),则a,b夹角的

余弦值为________.

a· b 【解析】 cos〈a,b〉= |a|· |b| 1×0+2×2+(-2)×4 2 5 = 2 2 2 2 2 2 =- 15

. 1 +2 +(-2) 0 +2 +42 5 【答案】 - 15

4 . (2013· 汕 头 模 拟 ) 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点

A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________.→ → 【解析】 设M(0,y,0),则 MA =(1,-y,2), MB → → =(1,-3-y,1),由题意知|MA|=|MB |,∴12+y2+22=12 +(-3-y)2+12,解得y=-1,故M(0,-1,0).

【答案】

(0,-1,0)

如图7-6-1所示，在平行六面 → → 体ABCD—A1B1C1D1中，设AA1 =a,AB → =b, AD =c,M,N,P分别是AA1, BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以 下各向量： → → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.

【思路点拨】

结合图形，利用三角形法则或平行四边

形法则及数乘向量运算求解.

【尝试解答】 (1)∵P是C1D1的中点， → → → ∴AP=AA1+A→ 1+D1P 1D → +1D1C1 → =a+AD 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 (2)∵N是BC的中点， → =A1A+AB+BN=-a+b+1BC → → → ∴A1N → 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2

(3)∵M是AA1的中点， → =MA+AP= 1A1A+AP → → ∴MP → → 2 1 1 1 1 =- a+(a+c+ b)= a+ b+c, 2 2 2 2 → 1=NC+CC1= 1BC+AA1 → → → 又NC → 2 1→ →1=1c+a, = AD+AA 2 2 1 1 1 → → ∴MP+NC1=( a+ b+c)+(a+ c) 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2

1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表 示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要 → → → → → → → 求.如本例用AB,AD,AA1表示AP 、A1N及MP+NC1 .解题 时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公 式等，就近表示所需向量. 2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以 通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.

如图7-6-2所示，在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点. → -1AB-1AD; → → (1)化简：A1O 2 2 → (2)设E是棱DD1上的点，且DE 2→ → → → = DD1,试用AB,AD,AA1 3 → 表示EO. → → → 【解】 (1)∵AB+AD=AC,

→ -1AB-1AD=A1O-1(AB+AD) → → → → → ∴A1O 2 2 2 → -1AC=A1O-AO=A1A. → → → → =A1O 2