2014届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：4.3三角函数的化简、求值(第1课时

第四章第 讲

三角函数

(第一课时)

●三角函数的化简，是通过一系列等 价变换，将三角函数式化为尽可能简单的 考 形式 ●给角求值，将非特殊角的三角函数 化为特殊角的三角函数或使非特殊角的三 搜 角函数互相抵消；给值求值，解决此类问 索 题的关键是要挖掘出已知条件中的角与所 求三角函数间的角及三角函数间的内在联 系

点

高考近年对三角函数的证明 要求不是很高，且试题较容易；但 考 对化简、求值要求较高.研究函数都 猜 需对式子先化简，求值题出现的可 想 能性比较大. 高

一、两角和的正弦、余弦、正切公式 1. sin(α+β)= . sin cos +cos sin 2. cos(α+β)= . cos cos -sin sin . 3. tan(α+β)= tan +tan 4. a sin x+b cos x= sin(x+φ) 1-tan tan (其中 2 2

b tan ). a

a b

二、两角差的正弦、余弦、正切公式 1. sinαcosβ-cosαsinβ= . sin(α-β) 2. cosαcosβ+sinαsinβ= . cos(α-β) 3. . tan tan = tan(α-β) 三、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1 tan tan 1. sin2α= . 2. cos2α= = . 2sinαcosα = . 2 cos α-sin2α 2cos2α-1 3. tan2α= . 1-2sin2α 2tan

1-tan 2

四、常用公式的变形 1. cos2α=1+cos2 ,sin2α= 2 1-cos2 2 .

tan( ) 2. 1 tan = 4 1 tan 1 tan tan( - ) = 4 1 tan 3. tanα〒tanβ=tan(α〒β)

,. . (1 tan tan )

1.(sin75°-sin15°)(cos15°+cos75°)的值 是( ) 1 D A. 1 B.2 C. 2 2 3 D. 2

(sin75°-sin15°)(cos15°+cos75°) =(cos15°-sin15°)(cos15°+sin15°) =cos215°-sin215°=cos30° 故选D.3 , 27

2.设 a 2 (sin17°+cos17°), 2 b=2cos213°-1, 3 则( ) c , 2 A. c<a<b B. b<c<a C. a<b<c D. b<a<c

2(sin17°+cos17°) a 2 =sin(17°+45°)=sin62°,

b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,

3 c 故选A. sin60 sin60 sin62 sin64 . 2

3.已知 tan( ) 1 , 6 2 1则 tan ( ) , tan( ) 1. 6 3 3 tan( )

tan[( ) ( )] 6 6 tan( ) tan( ) 6 6 1. 1 tan( )tan( ) 6 610

3

题型1:公式的“正用”

化简 1 2 2 2 2 sin sin cos cos cos2 cos2 . 解法1:(从“角”入手，复角化单角) 2 原式=sin2αsin2β+cos2αcos2β1 (2cos 2 1) 2cos 2 1 2

=sin2αsin2β+cos2αcos2β 1 (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 =sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β =sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β 1

1 2

1 1 1 sin cos 1 . 2 2 22 2

2

解法2:(从“名”入手，异名化同名)

原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β1 cos2αcos2β 2 =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)-cos2αcos2β 1 =cos2β-sin2αcos2βcos2αcos2β 2 =cos2β-cos2β·(sin2α+ cos2α)

1 21

1 cos2 1 2 2 cos2 [sin (1 2sin )] · 2 2 1 cos2 1 1 cos2 . 2 2 2

2

解法3:(从“幂”入手，利用降幂公式先 降次) 原式= 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2

2 2 2 2 1 cos2 cos2 2 1 (1 cos2 cos2 cos2 cos2 ) 4 1 (1 cos2 cos2 cos2 cos2 ) 4 1 1 cos2 cos2 . 2 214

·

·

解法4:(从“形”入手，利用配方法， 先对二次项配方) 原式=(sinαsinβ-cosαcosβ)2 1 +2sinαsinβcosαcosβ2 cos2αcos2β 1 1 2(α+β)+ =cos sin2αsin2βcos2 cos2 2 2 1 2(α+β)cos2 cos2 =cos 2 1 1 2 2 cos ( ) [2cos ( ) 1] . 2 2

【点评】:两角和(差)的正弦、余弦、正 切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式 是三角函数化简与求值最常用的公式.应用 时，按公式的结构形式从左往右运用，这 就是公式的正用.如把两角和、差按公式展 开，二倍角化单角等都是正用.