空间向量及其线性运算课件0

复习回顾：平面向量

一：空间向量的基本概念平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小a

空间向量具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

平面向量的加法、减法与数乘运算

ba向量加法的三角形法则

b a向量加法的平行四边形法则

a b a向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？B

b

O

A

aO′

结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。

说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量 中有关结论仍适用于它们。

二、空间向量及其加减法平面向量概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律加法交换律 a b b a加法结合律

空间向量具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 加法结合律

(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a+k b

(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a+k b

三、空间向量的数乘运算 a 仍然是一个向量.⑴当 ⑵当 ⑶当

与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积

0 时, a 与向量 a 的方向相同; 0 时, a 与向量 a 的方向相反; 0 时, a 是零向量.

 例如:

a

3a

3a 即： (a b) a b ( ) a a a ( )a ( )a

共线向量亦称平行向量

平面共线向量定理的内容， 对空间向量也是成立的。

例1、给出以下命题：(1)两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； (2)若空间向量

(3)在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC AC1 ; 1

a a、满足| a | | b |,则 b ; b 满足 m n, n p ,则

(4)若空间向量 m n p 、 、

m p

;

(5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

C )D.4

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1

,化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2D A B A1 G C D1 B1 C1

M

解：) AB BC AC; (1 =

(2) AB AD AA AC AA AC CC1 AC1 1 1

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C AB1 B1C1 C1C AC x 1.A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1

四、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a b由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

3.A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线

AP t AB OP xOA yOB( x y 1)

中点公式：

1 若P为AB中点, 则 OP OA OB 2

BP A O

五、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

b c a

d

注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢？

a e2 e1

e 由平面向量基本定理知，如果 e1, 2

是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 , a 只有一对实数1 2 使 1e1 2e2

如果空间向量 共 面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p x yb

p 与两不共线向量 a , b

反过来，对空间任意两个不共线的向量 a , ,如 b 果 p x yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？

C b A aB

p

P

xa, yb分别与a, b共线，

xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在， a b确定的平面内，

p xa yb在a, b确定的平面内即p与a, , b共面