2013高考数学总复习精品课件 ： 正弦定理和余弦定理

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第七节 正弦定理和余弦定理基础梳理1. 设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a,b,c,R是△ABC的外接 圆半径. (1)正弦定理 三角形的 各边和它所对角的正弦的比相等，即a b c 2R sin A sin B sin C

(2)正弦定理的三种形式①a= 2Rsin A, b= 2Rsin B,c= 2Rsin C(边到角的转换);

② sin A

a b c , sin B , sin C (角到边的转换); 2R 2R 2R

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③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2. 三角形常用面积公式1 a h (h表示三角形长为a的边上的高). 2 1 1 1 (2) S acsin B bcsin A absin C. 2 2 2

(1) S

(3)

S

1 r(a b c) 2

(r为三角形的内切圆半径).

3. 余弦定理 三角形任何一边的平方等于 其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍 ,即

a2= b2+c2-2bccos A , b2= c2+a2-2cacos B , c2= a2+b2-2abcos C.

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余弦定理也可以写成如下形式：

b2 c2 - a 2 a 2 c2 - b2 a 2 b2 - c2 cos A , cos B , cos C . 2bc 2ac 2ab4. 勾股定理是余弦定理的特殊情况 在余弦定理表达式中,分别令A、B、C为90°,则上述关系式分别化为：

a2=b2+c2 , b2=a2+c2 , c2=a2+b2.典例分析

题型一正弦定理和余弦定理的应用【例1】 在△ABC中，已知 a 3, b 2 ,B=45°,求A、C和c.

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分析

已知两边和其中一边的对角解三角形问题，可运用正弦定理来求解，但应注意解的情况.或借助余弦定理，先求出边c后，再求出角C与角A. 解 方法一:∵B=45°<90°,且b<a,∴此题有两解. asin B 3 sin 45 3 由正弦定理，得 sin A , b 2 2 ∴A=60°或A=120°. (1)当A=60°时，C=180°-A-B=75°,所以

bsin C 2sin 75 c sin B sin 45

6 2 . 2

(2)当A=120°时，C=180°-A-B=15°,

bsin C 2sin 15 6- 2 所以 c . sin B sin 45 2

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故A=60°,C=75°, c

6 2 6 2 或A=120°,C=15°, c 2 2

方法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,

2bc 6- 2 当 a 3, b 2 , c 时, 2

即 ( 2 )2 ( 3)2 c2 - 2 3ccos 45 6 2 6 2 2 c 或c 整理得 c - 6c 1 0,解得, 2 2 2 2 2 b c -a . cos A ①

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由①可得cos A -

1 ,故A=120°; 2

当a 3, b 2 , c

1 由①可得 cos A - ,故A=60°, 2故A=60°,C=75°, c

6 2 时， 2

6 2 或 2 A=120°,C=15°, c 6 2 2学后反思 对于解三角形，若已知两边和其中一边的对角，要注意解的个

数，往往需要分类讨论.用正弦定理，则对角进行分类讨论；用余弦定理，则对边进行分类讨论.

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举一反三1. 已知在△ABC中，a=7,b=3,c=5,求三角形中的最大角及角C的正弦值. 解析: ∵a>c>b,∴角A为最大角.

b2 c2 - a 2 1 由余弦定理,得 cos A - ,∴A=120° 2bc 2∴sin A= 3 ,再根据正弦定理，得2

a c sin A sin C

∴ sin C c sin A 5 3 5 3

a

7

2

14

题型二 三角形的面积问题 【例2】(

2008· 辽宁)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别 是a,b,c,已知c=2,C= .若△ABC的面积等于3,求a,b. 3

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分析 分别利用正弦定理和余弦定理建立关于a,b的方程， 然后解方程组得a,b.

解 由余弦定理及已知条件得a 2 b 2 -ab=4. ∵△ABC的面积等于3, ∴ 1 absin C= 3 ,∴ab=4. 2 联立方程组 a 2 b 2 -ab=4, ab=4, 解得 a=2, b=2.

学后反思 在解决三角形问题中，面积公式S= 2 absin 1 C= 2 bcsin A= 1 acsin B最常用，因为公式中既有边也 2 有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

1

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举一反三2. (2010· 江阳模拟)在△ABC中，a=4,A=30°,b= 4 3 ,则 S△ABC= .解析： 根据a b c -2bccos A得c=4或c=8. 1 ∵S= 2 bcsin A,∴S△ABC=8 3 或4 3 . 答案： 8 3 或4 32 2 2

题型三

判断三角形的形状

【例3】在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos A· sin B=sin C,试确定△ABC的形状. 分析 判定三角形的类型，一般是从题设条件出发，根据正 弦定理、余弦定理及面积公式，运用三角函数式或代数式的 恒等变形导出角或边的某种特殊关系，从而判定三角形的类 型.

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解 ∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 2 ∴ a 2 b 2 c =ab, 2 2 2 ∴cos C= a b c ab 1 , 2ab 2 ∵0<C<π, 2ab ∴C= . 3 又∵A+B+C=π, 2 ∴A+B= 3 . ∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin(π-A-B), ∴2cos Asin B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin(A-B)=0, 2 ∴A=B= 3 2 , ∴A=B=C= 3 . ∴三角形ABC为等边三角形. 学后反思 (1)判断三角形的形状，主要有两条思路：一是 化角为边，二是化边为角. (2)若等式两边是关于三角形的边或内角正弦函数齐次式， 则可以根据正弦定理互相转化.如asin A+bsin B=csin C  2 b2 c 2 sin 2A sin 2B sin 2C . a

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举一反三3. 在△ABC中，a2tan B=b2tan A,则三角形的形状是____. 解析： 由正弦定理,得sin2Atan B=sin2Btan A,即sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.∵A,B∈(0,π),∴A=B或A+B=90°. 答案： 等腰三角形或直角三角形 题型四 正、余弦定理的综合应用 例4. (14分) (2008· 哈尔滨模拟)△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2a2+bc=0. (1)求角A的大小； (2)若a=3,求bc的最大值； …… 此处隐藏：2915字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……