二次根式定义及性质

知识改变命运创造未来

二次根式定义及性质

教学内容：

1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：

，

2.重点：

；

，

及其运用．

，并利用它们进行计算和化简．

，

3.难点：利用，

知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如

知识点二：二次根式的性质 1. 2.

； ；

，解决具体问题.

(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

3.；

；

4. 积的算术平方根的性质：

5. 商的算术平方根的性质：

知识点三：代数式

.

形如5，a，a+b，ab，

，x3，

这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、

除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

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经典例题透析

类型一：二次根式的概念

例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．

思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：

、

(x＞0)、

、

、

(x≥0，y≥0)；

不是二次根式的有：、、、．

例2、当x是多少时，

在实数范围内有意义？

思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，

义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

举一反三

【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？

(1)； (2)；

解：(1)由

≥0，解得：x取任意实数

∴ 当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.

(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1

∴ 当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

才能有意

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【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？

思路点拨：要使

+在实数范围内有意义，

必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥- 由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

类型二：二次根式的性质 例1、计算：

(1) (5)

(2)(b≥0) (6)

(3)

(4)

思路点拨：我们可以直接利用 解：

(a≥0)的结论解题．

(1) (2)=； (3)；

(4) (6)

=； (5)

．

；

举一反三

【变式1】计算：

(1)

； (2)；

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(3)； (4).

思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0； (2)a2≥0；

(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0； (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0． 所以上面的4题都可以运用 解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0

；

的重要结论解题．

(2)∵a2≥0，∴ (3)∵a2+2a+1=(a+1)2

；

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴ (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 又∵(2x-3)2≥0

=a2+2a+1；

∴4x2-12x+9≥0，∴

例2、化简: (1)

； (2)

； (3)

； (4)

=4x2-12x+9.

.

去化简．

思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用 解：(1) (3)

例3、填空：当a≥0时， (1)若 (2)若 (3)

=____；当a＜0时，

==

=3； (2)=5； (4)

==

=4； =3.

=______， 并根据这一性质回答下列问题．

=a，则a可以是什么数？ =-a，则a可以是什么数？ ＞a，则a可以是什么数？

思路点拨： ∵

=a(a≥0)，

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∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数， 因为，当a≤0时，

=

，那么-a≥0．

，而

要

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知大于a，只有什么时候才能保证呢？ 解：(1)因为 (2)因为

(3)因为当a≥0时 要使

，所以a≥0； ，所以a≤0；

，要使

，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，

，

，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.

类型三：二次根式性质的应用 例1、当x=-4时，求二次根式

的值.

思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同. 解：将x=-4代入二次根式，得

=

.

例2、(1)已知

y= (2)若

+

++5，求=0，求

的值．

的值．

解：(1)由 (2)

可得，，

例3、在实数范围内分解因式： (1)x2-5； (2)x3-2x； 解:(1)原式

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(2)

原式

.

.

学习成果测评 基础达标

一、选择题

1.下列式子中，不是二次根式的是( )

A． B． C． D．

2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是( )

A．5 B．

C． D．以上皆不对

3.(福建省福州市)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值 …… 此处隐藏：2902字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……