《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)1

《量子力学导论》习题答案(曾谨言版,北京大学)

第一章

量子力学的诞生

1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， V ( x) = 试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有

∞, x < 0, x > a 0, 0 < x < a

a = n

λ2

(n = 1, 2 , 3 , )(1) (2)

∴ λ = 2a / n又据 de Broglie 关系 而能量

p = h/λ

E = p 2 / 2m = 2 / 2mλ2 = h2n2 π 2 2 n 2 = 2m 4 a 2 2ma 2

(n = 1, 2 , 3, )

(3)

1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解： 除了与箱壁碰撞外， 粒子在箱内作自由运动。 假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发， 则碰撞为弹性碰撞。 动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y , z 轴方向，把粒子沿 x, y , z 轴三个方向的运动 分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有

∫p即

x

dx = n x h ,

(n x

= 1, 2 , 3 , )

p x 2a = n x h ∴ p x = n x h / 2a ,

( 2a :一来一回为一个周期)

同理可得，

p y = n y h / 2b ,

p z = n z h / 2c ,

n x , n y , n z = 1, 2 , 3 , 粒子能量

E nx n y nz

1 π 2 2 2 2 2 = ( px + p y + pz ) = 2m 2m n x , n y , n z = 1, 2 , 3 ,

2 2 n x n y n z2 + + a2 b2 c2

1.3 设质量为 m 的粒子在谐振子势 V ( x ) = 提示：利用

1 mω 2 x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 2 p = 2m[ E V ( x)] V (x)

∫ p d x = nh,x ≤a

n = 1, 2 , ,

解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 (1)

其中 a 由下式决定： E = V ( x ) x = a =

1 mω 2 a 2 。 2

a

0

a

x

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由此得

a = 2 E / mω 2 ,

(2)

x = ± a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件

∫

1 p dx = 2 ∫ 2m( E mω 2 x 2 ) dx = 2mω ∫ a 2 x 2 dx 2 a a = 2mω a 2

+a

+a

π2

= mωπ a 2 = nh

得a =2

nh 2 n = mωπ mω

(3)

代入(2) ,解出

E n = n ω ,积分公式：

n = 1, 2 , 3 , a 2 u 2 du = u a2 u a2 u2 + arcsin + c 2 2 a

(4)

∫

1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I,求能量的可能取值。 提示：利用

∫

2π

0

2 p d = nh, n = 1, 2 , , p 是平面转子的角动量。转子的能量 E = p / 2 I 。

解：平面转子的转角(角位移)记为 。 , 它的角动量 p = I (广义动量) p 是运动惯量。按量子化条件.

∫∴因而平面转子的能量

2π

0

p dx = 2π p

= mh,

m = 1, 2 , 3 ,

p = mh ,

2 E m = p / 2 I = m 2 2 / 2 I ,

m = 1, 2 , 3 ,

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第二章 波函数与 Schrödinger 方程 2.1 设质量为 m 的粒子在势场 V (r ) 中运动。 (a)证明粒子的能量平均值为

E = ∫ d 3r ω ,(能量密度)

ω=

2 ψ *ψ + ψ *Vψ 2m

(b)证明能量守恒公式

2 ψ * ψ w * + s = 0 s =

t ψ + t ψ (能流密度) t 2m

证： (a)粒子的能量平均值为(设ψ 已归一化)

2 2 3 E = ∫ψ 2m + V ψ d r = T + V *

(1)

V = ∫ d 3 rψ *Vψ

(势能平均值)

(2)

2 2 T = ∫ d 3 rψ * (动能平均值) 2m ψ 2 3 * * = ∫ d r ψ ψ ψ ( ψ ) 2m

[ (

) (

)

]

其 中 T 的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为 0 。 因 此

T=

2 3 * ∫ d r ψ ψ 2m

(3)

2 结合式(1)(2)和(3) 、 ,可知能量密度 ω = ψ * ψ + ψ *Vψ , 2m且能量平均值 (b)由(4)式，得. . ω 2 ψ ψ = ψ + ψ * t t 2m t . ψ ψ + Vψ + ψ *V t t

(4)

E = ∫ d 3 r ω 。

. . . . . 2 ψ ψ ψ 2 * ψ ψ * ψ 2 * = ψ + ψ ψ + ψ + Vψ + ψ V t 2m t t t t t

ψ 2 2 ψ 2 2 = s + + V ψ + + V ψ * t 2m t 2m . . ψ ψ * = s + E ψ+ ψ t t

.

.

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= s + E= s所以

ρ t

( ρ :几率密度)

(定态波函数，几率密度 ρ 不随时间改变)

w + s = 0 。 t2.2 考虑单粒子的 Schrödinger 方程

2 2 i ψ (r , t ) = ψ (r , t ) + [V1 (r ) + iV2 (r )] (r , t ) ψ 2m t

(1)

V1 与 V2 为实函数。(a)证明粒子的几率(粒子数)不守恒。 (b)证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为

2V2 d 3 * * * ∫∫∫ d rψ ψ = 2im ∫∫ ψ ψ ψ ψ dS + dt τ S证： (a)式(1)取复共轭， 得

(

)

∫∫∫ d τ

3

rψ *ψ

i

* 2 2 * ψ = ψ + (V1 iV2 ) * ψ 2m t

(2)

ψ * × (1)-ψ × (2),得i * 2 * 2 ψ ψ = ψ ψ ψ 2ψ * + 2iψ *V2ψ t 2m 2 = ψ * ψ ψ ψ * + 2iV2ψ *ψ 2m

(

)

(

)

(

)

∴

2V * ψ ψ = ψ * ψ ψ ψ * + 2 ψ *ψ t 2im

(

)

(

)

(

)

(3)

即

2V ρ + j = 2 ρ ≠ 0 , t

此即几率不守恒的微分表达式。 (b)式(3)对空间体积 τ 积分，得

2 3 * * * 3 3 * ∫∫∫ d r ψ ψ = 2im ∫∫∫ ψ ψ ψ ψ d r + ∫∫∫ d rV2 ψ ψ t τ τ τ

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