优秀教案30-第三章导数及其应用(复习2)

复习课: 导数及其应用

教学目标

重点：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间、极值和最值．

难点：导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用，方程根及恒成立问题.

知识点：（1）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念（2）熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则（3）理解可导函数的单调性与其导数的关系. 理解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）.会求一些实际问题的最大值和最小值. 能力点：培养学生的数形结合、转化、分类讨论的数学思想，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力． 教育点：求极值和最值的步骤，需要具体练习和掌握. 这是一堂复习课，教学难度有所增加，培养学生思考问题的习惯，以及克服困难的信心.

自主探究点：函数导数等于零的点一定是极值点吗？

考试点：1.导数的概念、四则运算、常用函数的导数的考查2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值. 易错易混点：使导函数等于零的点当成了是极值点，没有进一步的检验，在选择题、和填空题中经常出错. 拓展点：不等式恒成立和方程根的个数问题.

学法与教具

学法：1.采用“学案导学”方式进行教学2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用 教具：多媒体、学案、直尺. 一、【知识结构】

即二、【知识梳理】

1.导数的概念：对于函数y f(x)，如果自变量x在x0处有增量 x，那么函数y相应的有增量

y f x0 x f x0 .比值

y

就叫做函数y f(x)在x0到x0 x之间的平均变化率， x

yf(x0 x) f(x0) y ，如果当 x 0时，有极限，就说函数y f(x)在点x0处可导，并

x x x

且把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（或瞬时变化率），记作f' x0 或 y |x x0

即f' x0 ＝

lim

x 0

f(x0 x) f(x0) y

＝lim x x x 0

2.几种常见函数的导数

(x) ＝ ；( Q*) (sinx) ＝ ;(cosx) ＝ ; (C) ＝ ；

(ex) ＝ ， (ax) ＝ ； (lnx) ＝ ; (logax) ＝

3. 导数的四则运算 若y f(x),y g x 的导数存在，则

①[f(x) g x ]/ _____________ ②[f(x) g x ]/ _____________ ③[

f(x)/

④[Cf x ]/ __________] _______________________

g(x)

4.导数的意义

（1）导数的几何意义：函数y f(x)在点x0处的导数f' x0 ，就是曲线y f(x)在点P x0,f(x0) 处的切线的斜率k，即k f

/

x0 .

t0处的导数/t

S(t0)的物理意义是运动物体在时刻0处的瞬时速度.

（2）导数的物理意义：函数S(t)在点

5.函数的单调性与导数的关系

（1）在某个区间 a,b 内如果 ，那么函数y f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y f(x)在这个区间内单调递减；如果 ，那么函数y f(x)在这个区间上是常数函数． （2）求可导函数y f(x)的单调区间的步骤：（1）求f

'

x (2)解不等式f' x 0 (或f' x 0)

(3)确认并写出单调区间. 6．函数的极值与导数

（1）若函数y f(x)在点x a处的函数值f(a)比它在点

x a附近其它点处的函数值 ，且

f'(a) 0，而且在点x a附近的左侧a叫函数的极小值点，f(a)叫做

函数的极小值．

（2）若函数y f(x)在点x b处的函数值f(b)比它在点x b附近其它点处的函数值 ，且

f'(b) 0，而且在点x b附近的左侧b叫函数的极大值点，f(b)叫做函

数的极大值．

求函数y f(x) 极值的步骤：

（1）确定函数的定义域 ; (2) 求方程f x 0的根;

'

（3）解不等式f x 0 (或f x 0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间； (4) 列表; (5)写出极值. 7．函数的最值与导数

函数y f(x)在[a,b]上有最值的条件：如果在区间[a,b]上函数y f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

'

'

求在闭区间[a,b]上的连续函数y f(x)最值的步骤：（1）求y f(x)在(a,b)内的 值； (2)将y f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

【设计说明】

第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以上基础知识填完

第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点（老师注意发现学生的问题） 第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评（大屏幕显示） 三、【范例导航】

1．利用导数研究曲线的切线 例1求曲线

y

x

在点 1, 1 处的切线方程 x 2

【分析】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【解答】因为y

/

2

x 22

，所以，在点 1, 1 处的切线斜率k y/| 1 2，所以，切线方程为

y 1 4(x 1)，即2x y 1 0.

【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求导.

14

变式训练: 已知曲线y x3 .

33

（1）求曲线在x 2处的切线方程； （2）求曲线过点(2,4)的切线方程.

答案：（1）∵y/ x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k y/|x 2 4. 

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y 4 4(x 2),即4x y 4 0.

（2）设曲线y

134 134 2

x .与过点P(2,4)的切线相切于点A x0,x0则切线的斜率k y/|x x0 x0 ，333 3

∴切线方程为y x0

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