2016年高考数学(理科)押题精练：专题【11】《立体几何中的向量方法》ppt课件

专题11

立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法主干知识梳理

热点分类突破

真题与押题

考 情 解 读

1. 以多面体 ( 特别是棱柱、棱锥或其组合体 ) 为载体，考 查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问 中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属 低中档问题. 2. 以多面体 ( 特别是棱柱、棱锥或其组合体 ) 为载体，考 查空间角 ( 主要是线面角和二面角 )的计算，是高考的必 考内容，属中档题. 3. 以已知结论寻求成立的条件 ( 或是否存在问题 ) 的探索 性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能 力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题.3

主干知识梳理

1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a= (a1, b1, c1).平面α、 β的法向 量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)(以下相同). (1)线面平行 l∥α a⊥μ a· μ=0 a1a2+b1b2+c1c2=0.

(2)线面垂直 l⊥α a∥μ a=kμ a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2. (3)面面平行 α∥β μ∥v μ=λv a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3. (4)面面垂直

α⊥β μ⊥v μ· v=0 a2a3+b2b3+c2c3=0.

2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线 l , m 的方向向量分别为 a = (a1 , b1 , c1) , b =(a2,b2,c2).平面α、β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3), v=(a4,b4,c4)(以下相同). (1)线线夹角

π 设 l,m 的夹角为 θ(0≤θ≤ ),则 2 |a1a2+b1b2+c1c2| |a· b| cos θ= = 2 2 2 2 2 2 . |a||b| a1+b1+c1 a2+b2+c2

(2)线面夹角

π 设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ(0≤θ≤ ), 2 |a· μ| 则 sin θ= =|cos〈a,μ〉|. |a||μ|(3)面面夹角 设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π),

提醒

|μ· v| 则|cos θ|= =|cos〈μ,v〉|. |μ||v|

求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面

角的补角，要注意从图中分析.

3.求空间距离直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为

点到平面的距离，点P到平面α的距离：d=(其中n为α的法向量，M为α内任一点).

→ |PM· n| |n|

热点分类突破

热点一 热点二 热点三

利用向量证明平行与垂直利用向量求空间角 利用空间向量求解探索性问题

热点一

利用向量证明平行与垂直

例1 如图，在直三棱柱ADE—BCF

中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为 DF的中点.运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF;思维启迪 从 A点出发的三条直线 AB 、 AD , AE 两两垂直 , 可建立空间直角坐标系.

证明 方法一 由题意，得AB,AD,AE

两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形边长为 1,则 A(0,0,0),B(1,0,0), 1 1 1 1

C(1,1,0),D(0,1,0),F(1,0,1),M ,0,0 ,O , , . 2 2 2 2

1 1 → → (1)OM= 0,- ,- ,BA=(-1,0,0), 2 2

→ → → → ∴OM· BA=0, ∴OM⊥BA.∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱， ∴AB⊥平面BCF,∴

→ 是平面BCF的一个法向量， BA

且OM 平面BCF,∴OM∥平面BCF.

(2)平面MDF⊥平面EFCD. 证明 设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2). → → → 1 ∵DF=(1,-1,1),DM= ,-1,0 ,DC=(1,0,0), 2 → → 由 n1· DF=n1· DM=0,

1 x1-y1+z1=0, y1= x1, 2 得 1 解得 1 x1-y1=0, 2 z 1=- x1, 2

令

1 1 x1=1,则 n1= 1, ,- . 2 2

同理可得n2=(0,1,1). ∵n1· n2=0,∴平面MDF⊥平面EFCD.

→ → → → 1→ → 1→ 方法二 (1)OM=OF+FB+BM= DF-BF+ BA 2 2 1 → → → 1→ 1→ 1→ 1→ = (DB+BF)-BF+ BA=- BD- BF+ BA 2 2 2 2 2 1 → → 1→ 1→ 1→ 1→ =- (BC+BA)- BF+ BA=- BC- BF. 2 2 2 2 2

→ → → ∴向量OM与向量BF,BC共面，又OM 平面BCF,∴OM∥平面BCF. (2)由题意知，BF,BC,BA两两垂直，

→ → → → → ∵CD=BA,FC=BC-BF, → → 1 → 1 → → ∴OM· CD= - BC- BF · BA=0, 2 2 1→ 2 1→ 2 → → 1 → 1 → → → OM· FC= - BC- BF · (BC-BF)=- BC + BF =0. 2 2 2 2

∴OM⊥CD,OM⊥FC,又CD∩FC=C, ∴OM⊥平面EFCD. 又OM 平面MDF, ∴平面MDF⊥平面EFCD.