第18讲 能被2、5整除的数的特征

同学们都知道，自然数又称为非负整数。同学们还知道，两个整数相加，和仍是整数；两个整数相乘，乘积也是整数；两个整数相减，当被减数不小于减数时，差还是整数。两个整数相除时，情况就不那么简单了。如果被除数除以除数，商是整数，我们就说这个被除数能被这个除数整除；否则，就是不能整除。例如，

84能被2，3，4整除，因为84÷2=42，84÷3=28，84÷4=21，42，28，21都是整数。

而84不能被5整除，因为84÷5=16……4，有余数4。也不能被13整除，因为84÷13=6……6，有余数6。 因为0除以任何正整数，商都是0，所以0能被任何正整数整除。

这一讲的内容是能被2和5整除的数的特征，也就是讨论什么样的数能被2或5整除。

1. 能被2整除的数的特征

因为任何整数乘以2，所得乘数的个位数只有0，2，4，6，8五种情况，所以，能被2整除的数的个位数一定是0，2，4，6或8。也就是说，凡是个位数是0，2，4，6，8的整数一定能被2整除，凡是个位数是1，3，5，7，9的整数一定不能被2整除。

例如，38，172，960等都能被2整除，67，881，235等都不能被2整除。

能被2整除的整数称为偶数，不能被2整除的整数称为奇数。

0，2，4，6，8，10，12，14，…就是全体偶数。

1，3，5，7，9，11，13，15，…就是全体奇数。

偶数和奇数有如下运算性质：

偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数， 偶数±奇数=奇数， 奇数±偶数=奇数，

偶数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。

例1：在1～199中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？

分析与解：由于1，2，3，4，…，197，198，199是奇、偶数交替排列的，从小到大两两配对：(1，2)，(3，4)，…，(197，198)，还剩一个199。共有198÷2=99(对)，还剩一个奇数199。所以奇数的个数=198÷2+1=100(个)，偶数的个数=198÷2=99(个)。因为每对中的偶数比奇数大1，99对共大99，而199-99=100，所以奇数之和比偶数之和大，大100。如果按从大到小两两配对：(199，198)，(197，196)，…，(3，2)，那么怎样解呢？

例2：(1)不算出结果，判断数(524+42－429)是偶数还是奇数？

(2)数(42□+30－147)能被2整除，那么，□里可填什么数？

(3)下面的连乘积是偶数还是奇数？

1×3×5×7×9×11×13×14×15。

解：根据奇偶数的运算性质：

(1)因为524，42是偶数，所以(524+42)是偶数。又因为429是奇数，所以(524+42-429)是奇数。