不定积分的概念性质基本公式

1、不定积分的概念性质基本公式

3..11不定分积概的念性质与

引言已知

1、不定积分的概念性质基本公式

质点的动运律为规：s=st)( 则,度为v(速)=s tt(求)导反之已，质知的速度点规为律v:v=(t), 何求如点的运动质规s律(t,)使 v()=ts ()t

?不定求分积

1、不定积分的概念性质基本公式

一、原函数与定不积分概念1、的函原数定义： 如果在间区I , 内导函数F可( x )的导数函为f ( x ) ,即 xI 都， F有 ( x ) f (x )

dF (或 ) fx x( )d x那么，函 数 (Fx ) 称就为 (f x )在区 间 内的I一原函数.个例

s nix oc xs

is xn co是 sx的原 数.函1 ln x x( 0) x 1 ln x 在区是间0,( ) 的原内函.数 x

1、不定积分的概念性质基本公式

:问 1(原)数函是否在存？如存果是在否一？唯(2)如果唯一，它不们之有什间联么 系？ 3)如何(求原数？函

问题：

1、不定积分的概念性质基本公式

(1 )原函是否存在？是数否唯？一函数存原定在：理I内 连，续如 果数 函f( x ) 在区间 么在区那I间内存在 可函数 F导 ( x ,) 使x I,有F都 ( ) f x(x ) 简言之：.连函数续定一原有函数 注.:初函等数定义区间在内续连故初，函等数在 定义其区间内一有定函原数；

1、不定积分的概念性质基本公式

例 snix c o xs sn xi1+ cos x

si n x C co sx( C任意常数为)

原函数非唯一：若F x ) ( f( ) ,x则于对意任数 C常， F x ) ( C 都 是f ( x )的原函 .数

问题

1、不定积分的概念性质基本公式

(:2 若不)唯，一它之们间有什联么？系 若F x()和 G ( x ) 都是 f x( )的原 数， 函 F 则( x) ( xG )C ( C 任为常意)数证

F (x ) G(x ) f ( )x f( )x

0F ( x) G ( x )

F ( x ) G ( )x C ( C为意任常)数原函数全体为：的{F ( x C) C }称 为函数族

原问题

1、不定积分的概念性质基本公式

:(3) 何求如原数？函2、定不分

定义积在区间 I内， 数 f (函x ) 的有原函数称所 为f( x ) 区间 在I内的 不定积,记为分 f x() x .d 积被 分积 函 数号

f( x )x d F ( x ) 被 C积 表 达式 分积 变量

意 任 常数

xdf ( x)

1、不定积分的概念性质基本公式

例 求 xdx .6 x x 55解 x , x d x C 6. 6

5

6 1例 求 x.d 21 x arc解ant x 1, 2 1 x

1 xd a ctrn ax C. 12 x

1

1、不定积分的概念性质基本公式

例求 xd .x1 当x解 0时 , n xl , dx 1 l x n .C xx当 x 0 , 时 ln x() 1( 1 ) 1x x 1 dx ln( x) . xC1 x d nl| x | C .x

3、不

1、不定积分的概念性质基本公式

定分积的何几义意1)函( f数 (x )一的原函数的图形称个为 ( x )f 的一 条分积线.曲(2) F ( x ) f ()x 故,分积曲上线x处切线的点斜率于f等( x 在)x处点函数值。的3() f (x的不定)积分为f ( x)积分曲线族。的y F ( )(4)x分曲线积相0

族x

同点切线平行的

。例

1、不定积分的概念性质基本公式

曲线通设过点1(2),,且其任上点一的 处切斜率等线这于横坐标的点两，倍此求线曲程.方

设曲线方程解 y 为 f ( x,)

y d据题意根 知 2 x, x d即 ( x ) 是f 2x 的个原一数函. 2 xdx x C ,2

f x() xC, 2

由曲通线点(过，21) C 1, y 2x 1. 所曲线求程为

1、不定积分的概念性质基本公式

3、积分方算与运微分(求导)算运关系

[ 的f (xdx)] f( )x,d [ f ( )dxx ]f (x) dxd f ( ), f ( xx )xd d x F ( )xd x F ( x) C+ dF ( x ) F (x ) C . 论结 ：导求运算求不定积分与运算是互逆的的 .微分运算求不定与分的积算是互逆运的

.3.

1、不定积分的概念性质基本公式

分运算与积分运算的关微：(1系 ) f ( (x )dx) f ( x),

d( f ( )dxx ) f (x d)x2()

f ( )xxd f x)( C, df x( ) f( x ) C s inxd x d ( co s ) x os xc 1 C 1 x2 dx d (ar tanc x) arctn x aC如例： x x d ,C又：如知已

f (x ) d x xe x ,C则

f( x ) (exx C )ex xe x

1、不定积分的概念性质基本公式

二、 本基积分表 1 x 实例 x x x xd C . 1 1 ( 1

)1

启 能示根据否导求公式得积出分式公 结论 既？然积分算和运分微运算互是逆， 因的可此以据求根公式导得积出分公式

1、不定积分的概念性质基本公式

. (1) 基 kx d k x (C是常数)k; 本 x1 积 (2) x xd 1 ( C 1); 分 () 3d xln |x| C 表 x

1 (4 )1 x 2x d ratca xn C 1 (; )5 dx rcsin x a C ; 2 1 x ( 6 ) c osx d xsinx C ;